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Curso : Licenciatura em Matemática, Engenharia Metalúrgica e Engenharia de Produção, Tecnólogo em Processos Metalúrgico - Disciplina: Álgebra Linear Professor: João Cândido Moraes Neves Avaliação I – Trabalho II - valendo 2,0 - 1º Semestre/2021 Acadêmico(a):__________________________________Data:12/08/2021 Nota:________ OBS – As questões somente serão válidas se tiver os respetivos desenvolvimentos e ou justificativas, escritas a mão com caneta. Os arquivos em pdf das resoluções deverão ser postados no moodle até as 23h59 min, do dia 12/08/2021. Não será prorrogado nenhum período a mais. 1 – Dada a A(2x2) =[ 2 1 0 −3] , (a) Encontre o polinômio característico de A; (b) Encontre os auto-valores de A; (c) Encontre os auto-vetores de A; (d) Determine uma matriz ortogonal P tal que Pt = P-1 (e) determine uma matriz diagonal D tais que P −1AP = D; 2) Com base na matriz M(2x2) = [ 0 −2 0 2 ] : Analise se a afirmação - é falsa ou verdadeira: a matriz M é diagonizável? Se verdadeiro, justificar e mostrar através de cálculos o porquê? 3) Determinar os valores próprios(auto-valores) e os vetores próprios (auto-vetores) das matrizes abaixo, se existirem. a) A(2x2) =[ 4 5 2 1] b) B(2x2) =[ −16 10 −16 8 ] 4) Ajuste os dados abaixo pelo método dos quadrados mínimos utilizando: a)Faça um ajuste linear usando o método Ax=b (AtAx=Atb) b) exibir no mesmo gráfico os pontos da tabela e a reta ajustada (Excel ou Geogebra). 5 – Segundo o teorema das colunas .Se as colunas da matriz A forem linearmente independentes (LI), então Ax =b tem uma única solução de mínimos quadrados. (Justifique) A( ) Verdadeiro b( ) Falso então Ax=b tem uma única solução de mínimos quadrados (justifique) a ( ) Verdadeiro ( ) Falso Justifique: a ( ) Verdadeiro ( ) Falso 14) Todo conjunto ortonormal é um conjunto ortogonal. Justifique. 15) Todo conjunto ortogonal de vetores em Rn é linearmente independente (LI). Justifique. 16) Dados os vetores u = (2;−1;5) e v = (−1;−3;1). Qual o valor de: 17) Qual deve ser o valor de k para que os vetores u = (2;−1;k) e v = (1;3;−1) sejam ortogonais? 18) Considere a base ortogonal de R4 dada por {v1 ; v2 ;v3 ; v4}, com v1 = (0;1;−4;−1), v2 = (3;5;1;1), v3 = (1;0;1;−4) e v4 = (5;−3;−1;1) e considere o vetor x = (−2 ; 14; −4; 12). Qual o valor de k4 para que ocorra a igualdade k1v1 +k2v2 +k3v3 +k4v4 = x? 19) Calcule a projeção ortogonal de (5;2;−1) sobre a reta contendo (1;1;1) e a origem. 20) Qual das alternativas apresenta uma base ortonormal para W = Span{(2;1;1);(−1;1;1)}? Mostrar os cálculos. 22) Seja y = (0;3;1) e seja W = Span {v1;v2}, com v1 = (2;2;−1) e v2 =(1;0;2). Escreva y como uma soma de um vetor em W e outro ortogonal a W. Qual é esta soma? Apresentar os cálculos. 23) (Gram Schmidt) . Construa uma base ortogonal para o subespaço W = Span{(1;1;1;1);(0;1;0;1)}. Qual das alternativas apresenta uma base ortogonal para W? Apresentar os cálculos. e) Nenhuma das demais alternativas.