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EM503 - Métodos Numéricos aplicados à EngenhariaProjeto Computacional 3 - Problema integrado de análise termo estruturalDados:Barra de seção transversal variável.Comprimento L = 600 mm.Diâmetro maior d1= 50 mm.Diâmetro menor d2= 20 mm.Temperatura nas extremidades: Ts1= 70 °C e Ts2= 12 °C.Condutividade térmica k = 237 W/mK.(a) Para resolver o problema da distribuição de temperatura ao longo da barra usando o método dos elementos finitos, precisamos realizar os seguintes passos:Dividir a barra em 25 elementos de comprimento igual:∆x=L25=60025=24Expressar a área da seção transversal em função de x:Ax=πdx22Equação 1Ondedx=d1+d2-d1Lx=50-0.05xEquação 2Definir a matriz de condutância elementar por:Kec=kAL1-1-11Equação 3Por fim, temos que resolver o seguinte sistema linearKcT={F}Equação 4Onde Kc é a matriz de condutância global com dimensão 26 x 26 (25 elementos + 1 nó extra) e {F} é o vetor de forças térmicas.Código em MATLAB (figura 1) que monta a matriz de rigidez global, aplica as condições de contorno e resolve o sistema de equações para encontrar a distribuição de temperatura ao longo da barra. O vetor T resultante (figura 2) contém as temperaturas em cada nó da malha.Figura 1Figura 2(b) O fluxo de calor qx é dado por:qx= -kAxdTxdxEquação 5No contexto do método dos elementos finitos, o fluxo de calor pode ser calculado utilizando a diferença de temperatura entre os nós e a condutividade térmica k. Na figura 3 temos o código em MATLAB que realiza tal operação, seguida do resultado (figura 4).Figura 3Figura 4(c) O vetor de força elementar devido à variação de temperatura é dado por:fe=EAαΔT-11Onde E = 70 × 103 e α=23.6 ×10-6.No código em MATLAB apresentado na figura 5 o vetor de força global F é montado somando as contribuições do vetor de força elementar devido à variação de temperatura. Em seguida, o sistema linear Kcu=F é resolvido para encontrar os deslocamentos nodais. O resultado é apresentado na figura 6.Figura 5Figura 6(d) As tensões são calculadas através do código em MATLAB (figura 7) usando a relação σ=EdUdx ​, onde dUdx é o gradiente de deslocamento em cada elemento, neste caso, usamos ∆U∆x. E o fator de segurança é dado por σy/σmax. Por fim, na figura 8 obtemos os resultados finais indicando que a estrutura permanece em regime elástico.Figura 7Figura 8