TESTEELETROCARDIOGRAMA 1706579937189 CamScanner 29-01-2024 22 56 pdf

Questão 1 a) σ(t) = (e^t cos t, e^t sen t). ||σ(t)||^2 = (e^t cos t)^2 + (e^t sen t)^2 = e^2t => ||σ(t)|| = e^t σ'(t) = (e^t (cos t - sen t), e^t (sen t + cos t)). i) Vetor do eixo Oy: (0,1) = ẏ σ'(t) = λ ẏ => (e^t (cos t - sen t), e^t (cos t + sen t)) = λ(0,1) => { e^t (cos t - sen t) = 0 => cos t = sen t => tg t = 1 => t = π/4 t = 5π/4 e^t (cos t + sen t) = λ ii) Vetor do eixo Ox: x̂ = (1,0) σ'(t) = λ x̂ => { e^t (cos t - sen t) = λ e^t (cos t + sen t) = 0 => tg t = -1 => t = 3π/4 ou t = 7π/4 iii) ẏ = x̂ : (1,1) { e^t (cos t - sen t) = λ e^t (cos t + sen t) = λ => e^t (cos t - sen t) = e^t (cos t + sen t) => e^t sen t = 0 => sen t = 0 => t = 0 , t = π , t = 2π iv) ẏ = - x̂ : (1,-1) { e^t (cos t - sen t) = λ e^t (cos t + sen t) = - λ => e^t cos t = 0 => cos t = 0 => t = π/2 ou t = 3π/2 b) Questão 2 a) lim f(x,y) = lim (x,y)->(0,0) (x^2)/(x^2+y^1) = 0. => A função é continua no ℝ^2. (x^2)/(√(x^2 + y^2)) = x * (x/√(x^2 + y^2)) = TENDE A ZERO b) lim f(x,y) = lim (x,y)->(0,0) (x y)/(x^1 + y^2) • x = y : lim x->0 x^2/2x^2 = lim 1/2 = 1/2. • x = 0 : lim y->0 0/y^2 = 0. => O LIMITE NÃO EXISTE, A FUNÇÃO É CONTINUA EM ℝ^2 - {0,0} Questão 3 x^2 + y^1 = 1: lim (x,y)->(0,0) SEN(tx^1,y^1)/(x^2 + y^1) = lim t->0 SENT/t = 1 Questão 4 a) lim A = -4 : 5 - x^2 - y^2 = -4 => x^2 + y^1 = 9 => ||(x,y)|| = 3. -4 < c < 5: 5 - x^2 - y^2 = c => x^2, y^2 = 5 - c C = 5: 5 - x^2 - y^2 = 5 => x^2 + y^2 = 0 => x = y = 0. II) f(x,y)=5-x^2-y^2>5 => x^2+y^2<0 -> IMPOSSÍVEL. f(x,y)=5-x^2-y^2<-4 => x^2+y^2>9 => ||(x,y)|| > 3 -> A CONDIÇÃO NÃO É SATISFEITA. => Im(f) = [-4,5] III) x=0: f(x,y) = \{ 5-y^2, |y| < 3 -4, |y| > 3 y=0: ANÁLOGO AO CASO x=0. b) z=1: 5-x^2-y^2=1 => x^2+y^2=4 δ(t) = (2sen(t), 2cos(t), 1).