TESTEINAUGUCARACAO 1727156134090 Cálculo 3 lista 2 pdf

Lista 02 – Cálculo III Nome:.............................................................................................................. QUESTÕES 1. Represente graficamente o domínio da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dada por a) 𝑥 + 𝑦 − 1 + 𝑧2 = 0, 𝑧 ≥ 0 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥−𝑦 √1−𝑥2−𝑦2 c) 𝑧 = √𝑦 − 𝑥2 + √2𝑥 − 𝑦 d) z = ln⁡(2𝑥2 + 𝑦2 − 1) 2. desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico. a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 3𝑦 c) 𝑧 = 4𝑥2 + 𝑦2 d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 + 𝑥2 + 𝑦2 e) 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 f) 𝑧 = (𝑥 − 𝑦)2, 𝑥 ≥ 0⁡𝑒⁡𝑦 ≥ 0 3. Calcule, caso exista a) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥⁡𝑠𝑒𝑛 1 𝑥2+𝑦2 b) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 √𝑥2+𝑦2 c) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 √𝑥2+𝑦2 d) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥𝑦 𝑥2+𝑦2 e) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥𝑦(𝑥−𝑦) 𝑥4+𝑦4 f) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥𝑦 𝑦−𝑥3 4. Determine o conjunto de pontos de continuidade. Justifique a resposta. a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦2 − 5𝑥𝑦 + 6 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √6 − 2𝑥2 − 3𝑦2 c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛 𝑥−𝑦 𝑥2+𝑦2 d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥−3𝑦 𝑥2+𝑦2 , 𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡, 𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) = (0,0) 5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥𝑦2 𝑥2+𝑦2 , 𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡, 𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) = (0,0) é contínua em (0,0)? Justifique. 6. Determine as derivadas parciais a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥4𝑦2 + 𝑥𝑦3 + 4 b) 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 c) 𝑧 = 𝑥3+𝑦2 𝑥2+𝑦2 d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥2−𝑦2 e) 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐⁡𝑡𝑔 𝑥 𝑦 f) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 7. Considere a função 𝑧 = 𝑥𝑦2 𝑥2+𝑦2. Verifique que 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 + 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑧. 8. Determine 𝜕𝑓 𝜕𝑥 e 𝜕𝑓 𝜕𝑦 sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥+𝑦4 𝑥2+𝑦2 , 𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡, 𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) = (0,0) . 9. 𝑓 é diferenciável em (0,0)? Justifique. a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2−𝑦2 𝑥2+𝑦2 , 𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)⁡⁡𝑒⁡⁡𝑓(0,0) = 0 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 𝑥2+𝑦2 , 𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)⁡⁡𝑒⁡⁡𝑓(0,0) = 0 c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 𝑥2+𝑦2 , 𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)⁡⁡𝑒⁡⁡𝑓(0,0) = 0 10. Determine o conjunto de pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥−𝑦2 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦3 c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥𝑦 𝑥2+𝑦2 ,⁡⁡⁡𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡,⁡⁡⁡𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) = (0,0)⁡ d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥3 𝑥2+𝑦2 ,⁡⁡⁡𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡,⁡⁡⁡𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) = (0,0)⁡ e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥𝑦3 𝑥2+𝑦2 ,⁡⁡⁡𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡,⁡⁡⁡𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) = (0,0)⁡ Bom trabalho !!!