TESTETESTEINDEXAÇÃ0 1726351242342 Lista 1 - Sequencias Numericas pdf

I.6 Lista 1 de Exerc´ıcios - Sequˆencias Num´ericas. 1. Descubra a o termo geral an das sequˆencias abaixo: a) (1, 2, 4, 8, 16, · · · ). b) (1, −1, 1, −1, 1, −1, · · · ). c) (− 1 2, 2 3, − 3 4, 4 5, · · · ). d) (1, 1 4, 1 9, 1 16, 1 25, · · · ). e) (1, 0, 1, 0, 1, 0, · · · ). f) (1, 0, 4, 2, 2, 8, 4, 4, 16, 8, 6, 32 · · · ). 2. Enuncie todos os crit´erios dados em sala de aula para estabelecer a convergˆencia de sequˆencias num´ericas. 3. Com os resultados listados acima, estabele¸ca se as sequˆencias (an) abaixo convergem ou divergem, dizendo qual crit´erio usou. Quando for poss´ıvel calcule o limite da sequˆencia. a) an = n1/3 b) an = 1+(−1)n n c) an = sen π n d) an = (1, 000001)n e) an = (0, 99999999999)n f) an = 3n 2n+10000 g) an = √n+2 2√n h) an = n (ln n)2,5 i) an = n (ln n)0.5 j) an = n(−1)n k) an = n4 en l) an = √n + 1 − √n m) an = cos nπ n) an = n(1 − cos(1/n)) o) an = nsen 1 n p) an = n tan 1 n q) an = sen(1+n) n! r) an = n − n2sen 1 n s) an = (1 + 3n)1/n t) an = ln(1 − 7 n)n u) an = (1 + a/n)n para a ∈ R v) an = (−1)n(cosn)100 4n x) an = en+e−n en−e−n z) an = 1 + cos nπ 4. Quais das sequˆencias (an) abaixo convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequˆencia convergente. 28 mint —10n®? — 7n? +n+5 Vnt—3n+1 a) @, = ——— b) a, = C) d, = —————— 4n? +2 1 Gn" ie + 5n?+3 2n? +1 1 —1)”" —In(n n+ a) a, =(-19¢ Oe) g, = f) a= (aye 24 1+V2n h) antl 4 3" Aan = ——=— An = ———— 5. Sabendo-se que (1 + 1/n)" — e verifique que a) (1+ 1/n)?” > e b) (1+ 1/n?)” +e c) (1+ 1/(2n))" > Ve d) (nee) >e 6. Encontre o limite das sequéncias abaixo fazendo a interpretagao geométrica das mesmas: (a) dn = fy 4dax (b) a, = fi Kdz,a #1 (c) an = Io Ta dax (d) a, = [ Ja, e V+" dx dy para A, a coroa circular 1/n? < 2? +y? <1,n>2. (ec) an = J Sa, Tape para A,, a coroa circular 1/n? < 2? + y? < 1, > 2. Calcule as integrais d) e e) usando coordenadas polares. 7. Prove que nn 6 decrescente para n > 3. 8. Discuta a convergéncia ou divergéncia das sequéncias abaixo analisando se sao monotonas e/ou limitadas. a) On = 3 b) an = In (2+) Cc) a= 4 d) a, = “UOr) e)sn=SO1/R® f) sp =S02* gh sp = So 1/Vk hh) s = SY [1/(a(k+1))] k=1 k=l k=1 k=1 xl 1 _ 4 Sugestao ko kel ~ K(R+1) 9. Teste da razao e da raiz para convergéncia de sequéncias: Seja a, > 0 para todo n. a) Mostre que se “++ —> L onde 0 < L < 1 entao a, — 0. Ese “> L>1ou L =o entao a, > o. 29 b) Mostre que se 7/a, > L onde 0 < L < 1 entao a, > 0. Se L = co ou L > 1 entao An > OO. c) Use o item a) para ver se é possivel determinar quais das sequéncias abaixo convergem para 0? Quais vao para infinito? 1) Aan = 2) an = n? /2” 3) an = a 4) an = (nti?) 5) an = Vin( 55)” 2n! n 2n)! . 3.5. 2n-— n3—7n2 ” 6)a,= 2 Ta, = 8)a,= 22 9) ay = ASM 10) a, = (Beast) An, ~ . ys . 10. Mostre que se an > 0 € se "t+! _ @ < 1 entao existe {ndice no tal que a partir de An, n> No a, é estritamente decrescente. y+i+tiyz...41 11. Inspirados pelo exemplo 1.23 e 1.24 mostre que a, = ——*——*———. converge. n Neste caso qual o valor do limite? 12. a) Suponha que a, — ae que b, — b. Mostre que se a, < b, entao a‘b. b) E verdade que se a, < bp, entao a < b? 13. Assuma como verdadeiro o fato de que ~ a+ agr++* tan 17 ” “Se dn a entao ——— > a (ver Guidorizzi - vol.4 - pag.4) n a) Conclua entao que se a, > 0 e an + a> 0 entao v/a, + a9°+- Gn > a. An . b) Verifique que se +! _, [ entao v/a, > L. An, c) Calcule o limite lim Ya, para as sequéncias do item c) da questao anterior e veja nN—->0o se é possivel dizer quais convergem para zero e quais vao para infinito, usando esta técnica. Compare as duas técnicas e veja em quais exemplos uma se mostrou mais adequada que a outra. 14. Encontre o termo geral a, para as sequéncias abaixo sabendo-se que ap = 1 e que: a) Anti =G4n/3 — -b) Gngi = (1+ J)an (J constante fixa) = c) an = S(1/3)* k=1 d) An+1 = aT: 15. a) Suponha que um capital ap seja investido numa aplicagao que rende juros de 1% ao final de cada més. Descreva o montante a, no més n. 30 b) Calcule o montante apés 36 meses de aplicagaéo se ag = R$1000, 00. c) Caso vocé fique devendo R$ 1000,00 para um banco, que cobre 10% de juros ao més, qual sera sua divida com o banco no final de 36 meses.(Nunca caia nessa!!!) 16. Seja (a,) sequéncia reale a € R. a) Escreva a definicaéo de a, — a. b) Use a definigaéo para concluir que a, > 0 = |a,| > 0. c) E verdade que a, > a & |a,| > |a| para a 4 0? d) Conclua, usando a definigéo, que se (a,) 6 sequéncia real tal que a, — a entao An4+1 > a. e) Conclua, usando a definigao, que se (a,,) 6 sequéncia real tal que dgn41 4 @ € dan > a entao a, > a. 17. Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmacao quando for verdadeira. (a) () Toda sequéncia a, limitada é convergente. (b) () Toda sequéncia ilimitada é tal que a, — 00 ou ay, — —0o. (c) ( ) Se ja,| > ZL entao a, é convergente (d) ( ) Toda sequéncia monotona é convergente. (e) ( ) Toda sequéncia monotona crescente é tal que a, — oo. (f) ( ) Toda sequéncia monotona decrescente é tal que a, + —oo. (g) () Se duas subsequéncias de uma sequéncia convergem para o mesmo valor a entaéo a sequencia também converge para a. (h) ( ) Se dan 4 @ € a3, 4 @ entaAo ay > a. (i) () Sea, + oo e b, — 0 entao a,b, + 0 pois qualquer numero multiplicado por 0 é 0. (j) ( )A sequéncia s,, = Se é crescente e limitada. k=0 — 31 18. Sejam an e bn sequˆencias tais que |an − bn| ≤ e−n. O que se pode dizer sobre o comportamento de ambas no infinito? i) Verifique que se an → a ∈ R ent˜ao bn → a. ii) O que ocorre se uma das sequˆencias for para ∞? Justifique. Sugest˜ao: Lembre da desigualdade triangular. 19. Seja a sequˆencia tal que a1 = √ 3, a2 = √3 + 2a1, a3 = √3 + 2a2, an+1 = √3 + 2an. Use o M´etodo da indu¸c˜ao para mostrar que i) Mostre que 1 < an ≤ 3. ii) Mostre que an ´e crescente. Conclua que existe a tal que an → a e que a ≥ 0. Depois mostre que a = 3. 20. Para as sequˆencias abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a express˜ao geral de an e ent˜ao confirme seu palpite usando o M´etodo da Indu¸c˜ao Finita. a) Seja a sequˆencia (an) tal que a0 = 1 e nan = an−1 para n ≥ 1. b) a0 = 0 e (n + 1)an+1 = an + 1 n! para n ≥ 0. c) a0 = a1 = 1 e (n + 2)(n + 1)an+2 + an = 2 n! para n ≥ 0. d) a0 = 0 e a1 = 1 e (n + 2)(n + 1)an+2 − an = 2 n! para n ≥ 0. e) a0 = 1, a1 = 1 e (n + 2)an+2 + 2an = 0 para n ≥ 0. f) a0 = 1 e a1 = 0 e 2(n + 2)(n + 1)an+2 + (n + 1)an = 0 para n ≥ 0. OBS: Os resultados obtidos ser˜ao utilizados na resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais. Em particular no Exerc´ıcio (29) da Lista 3. 32