SEXTOTESTEINDEXAÇÃO pdf

Sum´ario 10 Movimento num C´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 10.1 Cinem ´atica rotacional 2 10.1.1 Movimento circular com velocidade constante 6 10.1.2 Sistema de coordenadas 6 10.2 Forc¸as e movimento circular 7 10.3 In´ercia rotacional 8 10.3.1 Energia cin´etica de rotac¸ ˜ao 8 10.4 Momento angular 9 10.5 In´ercia rotacional de objetos extensos 11 10.6 Outras quest˜oes de revis˜ao 13 10.7 Problemas 14 Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 10. Movimento num C´ırculo At´e o momento temos lidado apenas com o movimento translacional, que n˜ao envolve nenhuma mudanc¸a na orientac¸˜ao do objeto. Em outras palavras, todas as part´ıculas do ob- jeto se movem em trajet´orias paralelas idˆenticas. Durante o movimento rotacional, que vamos comec¸ar a estudar nesta semana, a orientac¸˜ao do objeto muda, e as part´ıculas num objeto seguem trajet´orias circulares diferentes centradas numa linha reta chamada de eixo de rotac¸˜ao. Geralmente, o movimento de objetos r´ıgidos ´e uma combinac¸˜ao destes dois tipos de movimento, mas como vamos ver na pr´oxima semana este movimento pode ser quebrado em partes translacionais e rotacionais que podem ser analisadas separadamente. Como j´a sabemos descrever o movimento translacional, vamos focar nesta semana em descrever o mo- vimento rotacional dos objetos. Referˆencias para leitura: Halliday (cap. 10 e sec¸˜ao 11.5) e Bauer (cap. 9 e sec¸˜ao 10.7). 10.1 Cinem´atica rotacional Figura 10.1: Exemplo de movimento circular. A Figura 10.1 mostra um exemplo de mo- vimento circular: um bloco ´e arrastado ao longo de um c´ırculo por uma mesa rodando. O bloco est´a girando ao redor de um eixo vertical no centro da mesa. O eixo em torno do qual o bloco est´a girando ´e externo ao bloco, e perpendicular ao plano de rotac¸˜ao. J´a a mesa gira em torno de um eixo in- terno. Em ambos os casos, o objeto que gira pode ser considerado como um sistema com uma quantidade enorme de part´ıculas, cada part´ıcula girando ao redor de um eixo de rotac¸˜ao. 2 10.1. CINEM ´ATICA ROTACIONAL 3 Figura 10.2: Exemplo de movimento circular. A Figura 10.2 mostra uma vis˜ao de cima do objeto se movimentando no sentido anti- hor´ario ao longo de um arco de c´ırculo. A velocidade m´edia do bloco aponta na mesma direc¸˜ao do deslocamento do bloco, ∆⃗r. Se considerarmos um intervalo de tempo suficientemente pequeno, o ˆangulo entre os vetores das posic¸˜oes inicial e final, ⃗ri e ⃗rf , medidos a partir do centro da tra- jet´oria circular, se aproxima de zero e ∆⃗r se torna tangente `a trajet´oria circular. Logo, a velocidade instantˆanea ⃗v de um objeto em movimento circular ´e sempre perpendicular `a posic¸˜ao ⃗r medida a partir do centro da trajet´oria circular. Figura 10.3: Exemplo de movimento circular. Como o movimento ocorre totalmente num plano, podemos usar coordenadas car- tesianas para descrever a posic¸˜ao e a velo- cidade do bloco em qualquer instante de tempo. Na Figura 10.3(a), a posic¸˜ao do bloco ´e especificada por (x1,y1) no instante t1 e por (x2,y2) no instante t2. No entanto, por- que o m´odulo do vetor posic¸˜ao ⃗r ´e sempre igual ao raio do c´ırculo, podemos tamb´em dar o m´odulo r e a direc¸˜ao do vetor para es- pecificar a posic¸˜ao do bloco, como indicado pelos ˆangulos θ1 e θ2 na Figura 10.3(b). Para especificar a direc¸˜ao, definimos a posic¸˜ao an- gular ou coordenada rotacional do bloco, que ´e um n´umero sem unidade que aumenta 2π a cada c´ırculo completado pelo bloco. A posic¸˜ao angular est´a relacionada com o ˆangulo polar θ. Mas, ao contr´ario da posic¸˜ao angular, o ˆangulo polar n˜ao ´e um n´umero sem unidade; ele ´e expresso em unidades de revoluc¸˜oes, graus ou radianos. Figura 10.4: Relac¸˜oes entre a posic¸˜ao angular θ, o raio r e o comprimento de arco s. De forma geral, a posic¸˜ao angular de um objeto se movimentando ao redor de um c´ırculo de raio r ´e definida como o comprimento de arco s na qual o objeto se moveu dividido pelo raio: θ = s r . O sinal e o m´odulo de s depende da escolha do sis- tema de coordenadas rotacional. No caso da Figura 10.4, podemos tomar a direc¸˜ao anti-hor´aria como po- sitiva. A mudanc¸a na posic¸˜ao angular de um objeto, ∆θ, pode ser expressa como uma diferenc¸a entre os com- primentos de arco: ∆θ = ∆s r , onde ∆s ´e definido como o comprimento de arco entre as posic¸˜oes final e inicial do objeto, como mostrado na 4 CAP´ITULO 10. MOVIMENTO NUM C´IRCULO Figura 10.4. Em analogia com a definic¸˜ao de veloci- dade m´edia, podemos definir uma velocidade angular m´edia, ωm, como sendo igual `a variac¸˜ao na posic¸˜ao angular dividida pelo intervalo de tempo no qual esta variac¸˜ao ocorre: ωm ≡ ∆θ ∆t . A unidade no SI para a velocidade angular ´e s−1. A velocidade angular pode ser positiva ou negativa, dependendo da escolha da direc¸˜ao positiva para a rotac¸˜ao de θ (hor´aria ou anti- hor´aria). A velocidade angular ωθ ´e obtida no limite em que o intervalo de tempo vai a zero ωθ ≡ lim ∆t→0 ∆θ ∆t = dθ dt . (10.1) Na equac¸˜ao acima, o subscrito θ indica que a velocidade angular depende da escolha da direc¸˜ao para θ, da mesma forma que o sinal de vx depende da escolha do eixo x no mo- vimento de translac¸˜ao. De fato, assim como vx ´e a componente do vetor velocidade ⃗v na direc¸˜ao do eixo x, ωθ ´e a componente do vetor velocidade angular ⃗ω, que vamos discutir no pr´oximo cap´ıtulo. A relac¸˜ao entre a velocidade angular instantˆanea e a velocidade instantˆanea pode ser obtida substituindo as equac¸˜oes anteriores na equac¸˜ao acima: ω = dθ dt = 1 r ds dt = vt r , onde vt ´e a componente tangencial da velocidade do objeto. Figura 10.5: Velocidades instantˆanea e angular para pontos de um disco ro- dando. A vantagem de usar a velocidade angular para descrever o movimento de rotac¸˜ao de objetos se torna clara quando olhamos para o disco rodando da Figura 10.5. Como os vetores velocidade ⃗v mostram, cada ponto do disco tem uma velocidade diferente, com os pontos mais longe do eixo de revoluc¸˜ao tendo maior velocidade (devido ao maior raio). Ainda assim, to- dos os pontos no disco executam o mesmo n´umero de revoluc¸˜oes por unidade de tempo, de forma que todos eles tˆem a mesma velocidade angular ωθ. Como tamb´em pode ser visto na Figura 10.5, a ve- locidade de um objeto em movimento circular cons- tantemente muda sua direc¸˜ao. Mesmo que o m´odulo das velocidades inicial e final do objeto sejam os mesmos, os vetores ⃗vi e ⃗vf apontam em direc¸˜oes diferentes. Portanto, h´a uma mudanc¸a na velocidade ∆⃗v, o que implica que o objeto acelera. De fato, objetos em movimento circular tˆem acelerac¸˜ao diferente de zero mesmo se eles estejam se movendo com velocidade constante. 10.1. CINEMATICA ROTACIONAL 5 Porque 7’e v sdo sempre perpendiculares entre si, ) ) > A > A quando r roda um Angulo 0, Vv roda o mesmo angulo, Puck accelerates because its To find puck’s average acceleration: o que significa que os tridngulos na Figura 10.6(b) ““o'y brs sisson Shaded triangles are similar. sao similares. Para determinar a variacdo na velo- Si f oY cidade, Av = vy —v;. Portanto, a aceleracéo média _ igi, > a , . ay has same direction ! 0; adm = Av/At também deve apontar para o centro do ;, ; as change in velocity. 5 2 . . \ ot r s 1 circulo. Se deixarmos o intervalo de tempo At se , i. . . . . 3; sy aproximar de zero, como na Figura 10.6(c), veremos eo | . a, =< que a aceleracao instantanea @ é perpendicular 4 ve- ’ locidade v. Esta aceleracdo é chamada de aceleracdo centripeta. ) Para calcular 0 médulo da aceleragao centripeta, oi once vena averane acceleration apmmoaces s time interval approaches zero, average acceleration approaches podemos usar novamente a semelhanca entre Os _ mtnencousacceleration, ridngul Figura 10. form N\ to. +. tridngulos da Figura 10.6(b), de forma que “Se x a, . |A7| _ 1A Kp ee arp = , r v oO oO O ; 1 ou, rearranjando OSs termos e dividindo OSs dois lados Instantaneous acceleration is perpendicular tov. pelo intervalo de tempo At, chegamos a A A Figura 10.6: Aceleragdo média e ins- Av _ v| ry tantanea de um objeto em movimento At r At circular. oe |Av] ; No limite de At — 0, 0 termo [> se aproxima do , ~ . \A7] . modulo da acelera¢ao (centripeta), que vamos denotar por a,, e 0 termo y; se aproximada da velocidade instantanea v, de forma que 2 v a= —. (10.2) r Esta é a aceleracgdo necessdria para manter um objeto se movendo com velocidade v ao redor de um circulo de raio r. Quando a velocidade escalar do objeto nao é constante, além da componente radial da aceleracdo vamos ter também uma componente paralela a velocidade. Esta componente é chamada de aceleracdo tangencial porque ela é sempre tangente a trajetoria: dv at =. (10.3) dt Quando o movimento circular é feito com velocidade escalar constante, a componente tangencial da aceleracao é zero (a; = 0). Neste caso, o tempo que um objeto demora para percorrer um circulo completo (chamado de periodo e denotado pela letra T) é 2mr 27 T=—=—. (10.4) v Ww Se o objeto muda o mddulo da velocidade ao longo do movimento circular, ambas as componentes da aceleracdo sao diferentes de zero. Neste caso, a aceleracdo resultante nao aponta mais para o centro do circulo, e seu mddulo é dado por a= Jaz +a?. (10.5) 6 CAP´ITULO 10. MOVIMENTO NUM C´IRCULO Quando a acelerac¸˜ao tangencial ´e diferente de zero, podemos definir a acelerac¸˜ao angu- lar α α ≡ lim ∆t→0 ∆ω dt = dω dt , (10.6) com unidade no SI igual a s−2. A acelerac¸˜ao angular ´e uma medida da taxa na qual a veloci- dade angular muda, e pode ser escrita como: at = dvt dt = r dω dt = rα. Logo, a acelerac¸˜ao tangencial est´a relacionada com a acelerac¸˜ao angular 10.1.1 Movimento circular com velocidade constante Para objetos em movimento circular com velocidade escalar constante, o m´odulo da veloci- dade instantˆanea do objeto n˜ao muda. Isto implica em dizer que a velocidade angular ω = v/r ´e constante, de forma que a acelerac¸˜ao angular ´e zero. Mas vimos acima que qualquer objeto num movimento circular deve ter uma acelerac¸˜ao. A aparente contradic¸˜ao se desfaz porque a acelerac¸˜ao angular mede a variac¸˜ao do m´odulo da velocidade ⃗v na qual um objeto descreve uma trajet´oria circular, enquanto a acelerac¸˜ao que mencionamos est´a relacionada com a mudanc¸a na direc¸˜ao da velocidade (acelerac¸˜ao centr´ıpeta). 10.1.2 Sistema de coordenadas Figura 10.7: Sistema de coordenadas em rotac¸˜ao usado para descrever o mo- vimento circular. Para descrever o movimento circular ´e conveniente escolher um sistema de coordenadas que roda com o objeto em considerac¸˜ao, como ilustrado na Figura 10.7. O eixo radial, denotado pela letra r, aponta na direc¸˜ao do raio da trajet´oria circular, no sentido contr´ario `a direc¸˜ao do eixo de rotac¸˜ao. O eixo tangen- cial, denotado pela letra t, aponta na direc¸˜ao em que v aumenta, tangente `a trajet´oria. Porque a direc¸˜ao tangente a um c´ırculo ´e perpendicular ao raio, os ei- xos r e t s˜ao sempre perpendiculares um em relac¸˜ao ao outro. Geralmente vamos precisar de um terceiro eixo, denotado pela letra z, para descrever a direc¸˜ao de forc¸as exercidas sobre o objeto. Este eixo ´e perpen- dicular ao plano do movimento, geralmente paralelo ao eixo de rotac¸˜ao. Com esta escolha de sistemas de coordenadas, a velocidade de um objeto em movimento circular uniforme ´e sempre direcionada ao longo do eixo t, e a acelerac¸˜ao do objeto ´e sempre direcionada na direc¸˜ao do eixo −r. 10.2. FORCAS E MOVIMENTO CIRCULAR 7 10.2 Forgas e movimento circular A aceleracdo centripeta de um objeto em movimento circular com velocidade escalar cons- tante nos diz que a forca resultante exercida sobre um objeto deve ser direcionada para o centro do circulo, de forma a continuamente ajustar a direcao do objeto. Sem esta forca resultante o objeto iria se mover em linha reta. A forga requerida para um objeto fazer uma curva pode ser um empurrao ou um puxdo ou uma --4---2---@---@ --@--> combinacao das duas. O modulo desta forga depende SE, =0 da velocidade do objeto e do raio da trajetéria, uma , vez que LF = ma, e no caso de um movimento circu- \ - lar uniforme |a| = a, = v*/r. Logo, quanto maior for 0 >F, SE “ raio da trajetoria menor sera a forga necessaria para ‘ _—_ ° o objeto se mover em circulo. Conforme o raio tende SE, | a infinito, o objeto se move um linha reta e nenhuma “- forca é necessdria para mudar a direcdo da sua velo- cidade (Figura 10.8). Figura 10.8: Quanto menor 0 raio, mais s . _ . acentuada serd a curva e maior sera a Como vocé pode notar desta discussdo, pratica- forca necessdria para fazer o objeto se- mente qualquer forga pode atuar como a forga res- gir a curva. ponsavel pelo movimento circular de um objeto. E o caso da forca de atrito estatico para o caso de um bloco sobre uma mesa girante que discutimos, ou da componente horizontal da tensdo sobre uma corda de um objeto preso a uma corda que gira em torno de um eixo. Esta for¢a também pode ser a forca gravitacional, que forga os planetas em 6rbitas (quase) circulares ao redor do Sol, ou a forga de Coulomb atuando sobre os elétrons nos atomos. Definigao 10.1 (For¢ga centrifuga) Essa é uma boa chance de esclarecer um ponto im- portante considerando a direcdo da forca responsavel pelo movimento circular. Vocé frequentemente ouve pessoas falando sobre aceleracgao centrifuga (ou “fugindo do centro”, na diregdo radial externa) ou forga centrifuga. Vocé pode experimentar a sensac¢ao de ser puxado aparentemente para fora em muitos brinquedos em parques de divers6es. Essa sensacdo se deve a inércia de seu corpo, 0 qual resiste a aceleracado centripeta (em direcdo ao centro). Assim, vocé sente uma aparente forca apontando para fora - a dita forca centrifuga. Mantenha em mente que essa percep¢ao resulta do movimento de seu corpo num sistema referencial acelerado; nao ha forca centrifuga. A forca que realmente atua sobre seu corpo e 0 obriga a mover-se sobre um caminho circular é a forga que te puxa para o centro do circulo. Vocé também experimentou um efeito similar no movimento em linha reta. Quando vocé esta sentado em seu carro, em repouso, e pisa no pedal do acelerador, vocé sente como se estivesse sendo pressionado de encontro ao banco do carro. Essa sensacao, de uma forca que o pressiona para tras, também vem da inércia do seu corpo, o qual é acelerado para frente pelo seu carro. Ambas as sensacoes de forcgas atuando sobre seu corpo sao o resultado de seu corpo experimentando uma aceleracao na direcao oposta e colocando resisténcia - inércia - contra essa aceleracao. 8 CAP´ITULO 10. MOVIMENTO NUM C´IRCULO 10.3 In´ercia rotacional Figura 10.9: Quando um disco em mo- vimento atinge um disco parado conec- tado a uma corda, a velocidade angular do disco sobre a corda depende do com- primento da corda. Agora que estabelecemos os princ´ıpios do movimento circular com velocidade constante, vamos examinar as variac¸˜oes na velocidade angular. Considere dois discos idˆenticos A e B numa mesa de ar horizontal. O disco B est´a inicialmente em repouso e preso a um poste vertical no meio da mesa por uma corda que restringe o movimento do disco a um c´ırculo de raio rB. Suponha que o disco A atinge o disco B com velocidade v, como ilustrado na Figura 10.9(a). Os dois discos colidem elasticamente, e imediatamente ap´os a colis˜ao o disco A est´a em repouso e o disco B tem velocidade v. O disco B comec¸a ent˜ao a se mo- ver num c´ırculo com velocidade v. Se a mudanc¸a na posic¸˜ao angular durante o intervalo de tempo ∆t ´e ∆θB, ent˜ao ap´os a colis˜ao sua velocidade angular ´e ωB,θ = ∆θB/∆t. Suponha agora que empurramos o disco A com a mesma velocidade v em direc¸˜ao a um terceiro disco C inicialmente em repouso e preso a uma corda de comprimento rC > rB, como na Figura 10.9(b). Como antes, o disco A fica em repouso ap´os a colis˜ao, e o disco C se move com velo- cidade v. Porque os dois discos B e C tˆem a mesma velocidade ap´os a colis˜ao, eles v˜ao viajar o mesmo comprimento de arco no mesmo intervalo de tempo ∆t. Contudo, suas velocidades angulares s˜ao diferentes porque os raios das suas trajet´orias s˜ao diferentes. O m´odulo da variac¸˜ao ∆θC ´e menor do que o de B, e a velocidade angular de C, ωC,θ = ∆θC/∆t, ´e menor do que a velocidade angular de B. Para o disco C ter a mesma velocidade angular de B, ´e necess´ario atingi-lo com um disco A mais r´apido. Colocando de outra forma, ´e mais dif´ıcil mudar a velocidade angular de C do que de B. Note que B e C tˆem a mesma in´ercia. Se n˜ao fosse pela presenc¸a das cordas de diferentes comprimentos, n˜ao seria poss´ıvel distingui-los. Mas a tendˆencia de um objeto de resistir a uma mudanc¸a na velocidade angular, a in´ercia rotacional, n˜ao ´e dada simples- mente pela in´ercia do objeto. A corda mais longa de C causa a velocidade angular de C mudar menos do que B, sugerindo que a in´ercia rotacional depende da localizac¸˜ao do objeto em relac¸˜ao ao eixo de rotac¸˜ao. Quanto maior for a distˆancia em relac¸˜ao ao eixo de rotac¸˜ao, maior ser´a a in´ercia rotacional. Ao contr´ario da in´ercia, que tem um ´unico valor (dado pela massa), a in´ercia rotacional depende da localizac¸˜ao em relac¸˜ao ao eixo de rotac¸˜ao. Um objeto pode ter uma in´ercia rotaci- onal pequena em relac¸˜ao a um eixo e uma in´ercia rotacional grande em relac¸˜ao a outro eixo. Logo, o valor da in´ercia rotacional n˜ao pode ser determinado a menos que vocˆe especifique o eixo de rotac¸˜ao. 10.3.1 Energia cin´etica de rotac¸˜ao Vamos retornar ao experimento da sec¸˜ao anterior. Por simplicidade, vamos ignorar o ta- manho dos discos e trata-los como part´ıculas. Ap´os a colis˜ao el´astica, o disco C se move em movimento circular com velocidade constante v. Chamando a in´ercia do disco de m, 10.4. MOMENTO ANGULAR 9 podemos dizer que sua energia cinética é 1 1 1 K = <mv? = =m(rw)* = =(mr?)w?. sin? = sm(re)? = 5(mr?) Podemos definir 0 termo entre parénteses como a inércia rotacional I do disco C em relacao ao eixo de rotacao: I = mr’ (particula), (10.7) de forma que 1 Krot = zie. (10.8) A inércia rotacional de um objeto em relacdo a um eixo se opde a mudan¢a no movimento de rotacgdo em torno deste eixo, da mesma forma que a inércia se opde 4a mudanga no movimento de translacao. A unidade no SI da inércia rotacional é kg-m?, e porque a unidade no SI para w és!, obtemos kg-m?/s? para a energia cinética de rotacdo, que é 0 joule (J). 10.4 Momento angular Note a semelhanga entre a energia cinética de translacdo e a energia cinética de rotacao. Considerando as variaveis corretas, onde substituindo m por I e v por w, temos exatamente a mesma relacdo para energia cinética: o produto de uma inércia por uma velocidade ao quadrado: 1 5 1,5 1, 340 ) 1 5 =mv* — -Iw* = <=(mr*)|-} ==mv*. 2 2 2 ( ) ( r 2 Esta relacdo nos diz que a colisdo elastica faz toda a energia cinética (translacional) inici- almente em A ser convertida em energia cinética rotacional do disco C. A soma da energia cinética do disco A e a energia cinética de rotagéo do disco C permanece constante, como deveria. O que acontece se fizermos 0 mesmo raciocinio na express4o do momento, mv? (Vv mv — Iw =(mr*)(—)=rmv. (10.9) r O resultado agora é diferente de uma simples substituicao. A quantidade Iw nao é igual ao médulo mv do momento do disco A. Agora Iw é igual ao produto mv e a distancia de A em relagdo ao eixo de rotacéo no momento da colisao. Este “momento rotacional” Iw representa precisamente o que chamamos da habilidade de colocar em movimento. A quantidade Iw tem um papel fundamental na Fisica. Quanto maior 0 valor Iw para um objeto se movendo, mais facil para o objeto colocar outro objeto em movimento de rotacao. Por causa da analogia com o momento, que mede a capacidade do objeto de colocar outros objetos em movimento ao longo de uma linha reta, esta quantidade é chamada de momento angular e é denotada pela letra L: Lo = lwo. (10.10) No SI, a unidade do momento angular é kg-m*/s. Como antes, 0 subscrito @ significa que o momento angular é uma grandeza que pode ter sinal positivo ou negativo, dependendo da escolha da direcdo positiva de rotacao de 0. 10 CAPITULO 10. MOVIMENTO NUM CIRCULO Um objeto nao precisa rodar ou girar para ter momento angular diferente de zero. Por exemplo, particle of inertia m =... mesmo que um objeto se mova numa linha reta, o disco A do exemplo anterior tem momento angular / diferente de zero - ele tem a capacidade de colocar outro disco em rotacao. Mas qual € o momento angu- _ jine of action of f on lar de um objeto que se move em linha reta? A pri- meira coisa a observar é que nao faz sentido falar de ae momento angular de um objeto sem especificar um “rotation > eixo de rotacao. A Figura 10.10 mostra como calcular RQ axis ‘ o momento angular de um objeto se movendo em li- i a 63 nha reta. Para um dado eixo de rotac4o, o valor de r 4 i ? / na equacao 10.9 é dada pela distancia perpendicular Yh 7 r, entre o eixo de rotacao e a linha reta definida pelo i *s.LU en? momento do objeto (0 raio do circulo no qual esta li- lever arm: perpendicular distance nha, chamada de linha de acao do momento, é tan- from rotation axis to line of action gente; veja a figura ao lado). O médulo do momento angular de uma particula que se move em linha reta Figura 10.10: Em relagdo a um eixo é entdo de rotacao, uma particula de inércia m se movendo em linha reta tem um mo- L=lw- (mr?) (=) =r, mv (particula). (10.11) mento angular de mdédulo r, mv. O sinal do momento angular é determinado pela escolha da direc¢ao positiva de 0. Por exem- plo, no caso da Figura 10.10 a posigao angular da particula esta aumentando conforme se move ao longo da trajetéria, e portanto o momento angular é positivo. Se nos substituirmos os valores de m,r, e v para o disco A logo antes do impacto, veremos que o momento angular do disco A antes do impacto é igual ao momento angular do disco B apos o impacto: Lai = Lp = +rgmv. A variagao do momento angular do disco A 6 AL, = La ¢—Laj = 0O—rgmv = —rgmv. A variagao do momento angular do disco B é Lg = +rgmv — 0 = +rgmv. Como vocé pode verificar, 0 mo- mento angular é uma quantidade extensiva, e portanto podemos definir o momento angular do sistema contendo os dois discos como L,j.; = L4 +L. E possivel perceber que o momento angular do sistema nao muda com a colisao: AL sis¢ =0 . Esta observacado sugere que o momento angular, assim como 0 momento, é uma quanti- dade conservada. De fato, se nao fosse pelo atrito, objetos em movimento circular tenderiam a continuar a se mover em movimento circular, assim como objetos em movimento transla- cional tenderiam a se mover em linha reta. O fato do momento angular de dois discos colidindo permanecer constante é uma con- sequéncia da conservacao do momento - a mudanca no momento do disco B é compensada por uma mudanca no momento de A. A conservacaéo do momento angular é tao fundamental quanto a conservacdo do momento e a conservacao da energia. 10.5. INERCIA ROTACIONAL DE OBJETOS EXTENSOS 11 10.5 Inércia rotacional de objetos extensos Até o momento analisamos o movimento de rotacao (a) To determine rotational inertia of an de particulas; mesmo quando tinhamos objetos eX- extended object . . . tensos (como discos) ignoramos suas dimensées e tra- tamos o objeto como uma particula. Mas podemos aplicar todos os conceitos de inércia rotacional para objetos rigidos extensos. Considere, por exemplo, o objeto rodando na Figura 10.11. Podemos quebrar o objeto em varios pequenos segmentos de inércia 6m, cada segmento com uma velocidade v diferente, mas todos se movendo em circulos em torno do eixo de rotacdo com mesma velocidade angular w. A energia cinética de rotacgdo do objeto é a soma da energia cinética de todos os segmentos (b) ... divide object into small segments of inertia 6m and add up their rotational 1. 1. 1 inertias. Kyo = ~ dmv; + = 5mv35 tu. = > (50m27). ; 2 2 —\2 l ae Como cada segmento tem uma velocidade diferente, aay < / wan WA x i ing ay | 1 2]_1 2] 2 1 | : I ; Kyot = [Fomor |= 5 > omara Ww, \ x r Z 2 2 \ N 2 Z , n n So Ome U2 SY sas : = onde r, mede a distancia do segmento n ao eixo de rotacdo. O termo entre colchetes é a inércia rotacional Figura 10.11: Procedimento para de- I, do segmento n, portanto terminar a inércia rotacional de um ob- jeto extenso. 1 1 pero Kror= 5] ) Info? = 510”, 2 2 n onde I € a inércia rotacional do objeto inteiro. As equac6ées acima mostram que a inércia rotacional de um objeto extenso pode ser obtida dividindo 0 objeto em segmentos pequenos e calculando a soma das contribuicdes de cada segmento: I= y_omnta: (10.12) n Se tomarmos o limite da expressao quando 6m, — 0, a soma se torna uma integral: I= lim y_omara = [Pam (objeto extenso). (10.13) om,—0 n Esta integral é dificil de avaliar para um objeto de forma arbitraria. Contudo, a integral é relativamente facil de calcular para objetos que exibem alguma simetria e s4o uniformes (isto é, a inércia esta uniformemente distribuida ao longo do volume do objeto). A Figura 10.12 lista os resultados de alguns objetos. 12 CAPITULO 10. MOVIMENTO NUM CIRCULO Rotation axes oriented so that object could roll on surface: For these axes, rotational inertia has the form cMR?, where c = I/MR? is called the shape factor. The farther the object’s material from the rotation axis, the larger the shape factor and hence the rotational inertia. thin-walled cylinder or hoop solid cylinder hollow-core cylinder thin-walled hollow solid sphere sphere ~ ¢ — ¢ —~ Shape Cl, R Y 'D «> Ce > Router Rotational inertia MR? + MR? SM(Roater + Reiner) 2 MR? 2 MR Shape factor c = I/MR?* 1 1 if: + (f=) 2 2 2 . Router 3 5 Other axis orientations thin-walled hoop solid cylinder thin rod rectangular plate _ le Shape C4 . | £ | : : > R b Rotational inertia } MR? MR? +34MC? bMC 4 M(a? + b*) Figura 10.12: Inércia rotacional de objetos uniformes de inércia M em relac4o a eixos que passam pelo centro de massa. Como a inércia rotacional depende do eixo de « sche rotacao, a tabela da Figura 10.12 parece de utilidade _ omega parallel . . , 7 . segment wit W aes limitada. Contudo, ha uma relacgdo simples entre inertia St, a a inércia rotacional de um objeto em torno de um res : eixo que passa pelo centro de massa e a inércia ro- \ _7-—= PB tacional em torno de um eixo paralelo ao centro de - massa. Considere o objeto da Figura 10.13. Vimos w que a inércia rotacional do objeto em torno do eixo 2 t que passa pelo centro de massa é ni NG, Xo d! _ ) 20 ) 24 4,2 a Lom = OMpT enn = OM, (Xp, + Vn): 4s P n n A inércia rotacional em torno do eixo paralelo que passa pelo ponto P, a uma distancia d do centro de @ on massa, é: ! sen ND Fon Ip =) Smarp, =) dmg [(dy + Xn)? + (dy + 9n)? f is P= Mylpy = My[(dy +Xn)° + ( y +Yn)° |. | Lnnnnnnnnne’ n n oe P Figura 10.13: O teorema dos eixos pa- ralelos. 10.6. OUTRAS QUESTOES DE REVISAO 13 Como, pela defini¢éo do centro de massa, se 0 centro de massa estiver na origem temos que Yom nXn = > OMndn =0, n n de forma que a equacao de Ip pode ser reduzida a Ip =) dmmgl (de + dp) +(x, + 9A) =) 51nd? + Lem. n n O fator d* pode ser retirado da somatoria, e com isto podemos ver que a inércia rotacional em torno do eixo paralelo é T= Te, + md’. (10.14) Esta relacdo é€ conhecida como teorema dos eixos paralelos. 10.6 Outras questoes de revisao Questao 10.1 Quais das seguintes situacgdes estao em equilibrio translacional? (a) Um objeto que roda em torno do seu centro de massa com velocidade constante. (b) Uma roda girando em torno do seu centro de massa. Quest4o 10.2 Determine a posicdo angular de cada um dos seguintes objetos para as escolhas do sistema de coordenadas de rota¢ao: (a) a ponta do ponteiro das horas de um reldgio as 4:30, quando zero esta a meio-dia do mesmo dia e @ aumenta na direcdo horaria. (b) uma torneira apos ter sido girada de 3/4 de uma volta na direcdo horaria, comecando do zero e com 6 crescendo na direcao anti-horaria. (c) O objeto na Figura 10.3 se 0 = 78,3°, quando zero esta em 9 = 0° e 8 aumenta na direcdo anti-horaria. Questao 10.3 Suponha que o objeto na Figura 10.6 esta em movimento circular acele- rado, de forma que lvFl > |v;|. Em qual direcdo a aceleracdo média do objeto vai apontar? Questao 10.4 Um bloco esta em cima de uma mesa que gira inicialmente com ve- locidade constante. A velocidade angular da mesa comeca a aumentar, e em algum instante o bloco sai da mesa. Explique porque isto ocorre. Questao 10.5 Uma bicicleta sempre tem que se curvar toda vez que vai fazer uma curva? 14 CAP´ITULO 10. MOVIMENTO NUM C´IRCULO 10.7 Problemas Atividade 10.1 Qual ´e a raz˜ao entre a velocidade angular da Terra em torno do seu pr´oprio eixo e a velocidade angular da Terra em torno do Sol? Atividade 10.2 Mostre que a acelerac¸˜ao centr´ıpeta de um objeto se movendo num c´ırculo de raio r com velocidade constante pode ser expressa como ac = 4π2r T 2 , onde T ´e o per´ıodo do movimento. Atividade 10.3 Determine a velocidade angular (a) do ponteiro dos minutos de um rel´ogio e (b) do ponteiro das horas de um rel´ogio. Atividade 10.4 Determine a in´ercia rotacional em torno do eixo x do objeto r´ıgido na figura abaixo? Desconsidere a massa das hastes, e considere as esferas como part´ıculas. Atividade 10.5 Trˆes esferas pequenas e idˆenticas, com in´ercia de 1,0 kg, s˜ao conectadas a cordas idˆenticas de 0,50 m de comprimento. Quando o sistema todo comec¸a a girar em torno do centro com velocidade angular de 3,0 s−1, qual ´e (a) a energia cin´etica de rotac¸˜ao e (b) o m´odulo do momento angular em torno do centro do sistema? 10.7. PROBLEMAS 15 Exerc´ıcio 10.1 A pista de carrinhos de brinquedo da figura abaixo tem 3 trilhos, e os carrinhos n˜ao podem mudar de trilho. A distˆancia entre dois trilhos adjacentes ´e de 100 mm, e o trilho mais interno tem um raio de 1,00 m. (a) Se cada carrinho tem a mesma velocidade m´edia, calcule e compare os intervalos de tempo necess´arios para cada um dos carrinhos completarem 20 voltas. (b) Se todos os trˆes carrinhos comec¸am um ao lado do outro e terminam a prova no mesmo instante, calcule e compare as velocidades m´edias de cada carrinho. Exerc´ıcio 10.2 Seu trabalho de final de semana ´e selecionar placas de velocidade m´axima para colocar em curvas nas rodovias de uma cidade. Para uma curva de raio 400 m e angulac¸˜ao de 7o, qual ´e a velocidade m´axima que vocˆe deve colocar na placa, de forma que qualquer carro viajando a esta velocidade complete a curva mesmo quando a estrada estiver molhada e escorregadia? Exerc´ıcio 10.3 Vocˆe prende uma bola pequena de in´ercia m numa das extremidades de uma corda de comprimento l. A outra extremidade da corda vocˆe prende com um parafuso numa parede. Vocˆe segura a bola ao lado do parafuso, com a corda distendida numa linha horizontal, conforme a figura abaixo. (a) Se vocˆe liberar a bola a partir do repouso, qual ´e a tens˜ao T na corda, em func¸˜ao do ˆangulo θ? (b) Qual ´e a tens˜ao m´axima que a corda deve suportar se vocˆe n˜ao quiser que a corda se rompa durante todo o movimento da bola? Exerc´ıcio 10.4 Um carro acelera do repouso em t = 0, de forma que seus pneus tˆem acelerac¸˜ao angular constante α = 5,8 s−2 cada. O raio de cada pneu ´e 0,33 m. Em t = 10 s, calcule (a) a velocidade angular ω dos pneus, (b) o deslocamento angular ∆θ de cada pneu, (c) a velocidade v do carro (assumindo que os pneus s˜ao perfeitamente esf´ericos), e (d) a distˆancia viajada pelo carro. 16 CAP´ITULO 10. MOVIMENTO NUM C´IRCULO Exerc´ıcio 10.5 Na figura abaixo, dois blocos idˆenticos B e C, cada um com in´ercia m, est˜ao conectados por uma haste de comprimento l e in´ercia desprez´ıvel. O sistema est´a livre para rodar em torno do seu centro. Um bloco A, de in´ercia m/2, atinge o bloco B. Ap´os a colis˜ao, na qual nenhuma energia ´e dissipada, quais s˜ao (a) a velocidade angular do sistema blocos+haste e (b) a velocidade ⃗v de A? Exerc´ıcio 10.6 Uma porta destrancada de in´ercia mp e comprimento lp est´a em re- pouso quando ´e atingida por uma bola de argila de massa mb que est´a se movendo com velocidade vb no instante em que atinge a porta. O local do impacto ocorre a uma distˆancia d = 2 3lp do eixo de rotac¸˜ao da porta. A bola atinge a frente da porta de forma perpendicular e fica presa `a porta. Qual ´e a velocidade rotacional ω do sistema porta-bola ap´os a colis˜ao? Exerc´ıcio 10.7 Um bloco de in´ercia m ´e preso a um bloco de in´ercia 2m por uma corda que passa por um disco uniforme de in´ercia 3m e raio R que pode rodar em torno do seu eixo. Inicialmente, o bloco de in´erica m ´e colocado de tal forma que a corda est´a tensionada. Quando este bloco ´e liberado e livre para se mover, qual ´e a sua velocidade depois de ter subido uma altura h? Ignore o atrito entre o disco e o eixo. Exerc´ıcio 10.8 Uma folha retangular de 0,15 kg tem arestas de 40 mm e 80 mm de comprimento. Determine sua in´ercia rotacional em torno de um eixo perpendicular localizado (a) no centro do lado maior, (b) no centro do lado menor, e (c) numa das extremidades. 10.7. PROBLEMAS 17 Exerc´ıcio 10.9 A bola na figura est´a amarrada a haste vertical por duas cordas de mesma resistˆencia (capazer de aguentar muito mais que uma dessas bolas) e igual comprimento. As cordas s˜ao leves e n˜ao s˜ao el´asticas. A haste comec¸a a girar com velocidade rotacional que aumenta lentamente, fazendo com que a bola gire com ve- locidade que aumenta lentamente. (a) Qual ´e a corda que arrebenta primeiro? (b) Justifique sua resposta desenhando o diagrama de corpo livre da bola, indicando todas as forc¸as exercidas sobre ela e suas grandezas relativas. Exerc´ıcio 10.10 Vocˆe dirige no sentido hor´ario em uma curva (como visto de cima). Vocˆe observa um tr´afego na frente e vocˆe diminui a velocidade. Qual dos diagramas abaixo melhor ilustra sua acelerac¸˜ao? Exerc´ıcio 10.11 Um disco com in´ercia rotacional I em torno do seu eixo central como mostrado na figura gira em torno desse eixo com velocidade rotacional inicial ωϑ,i, podendo desprezar o atrito. Um segundo disco idˆentico ´e mantido em repouso pou- cos mil´ımetros diretamente acima do primeiro disco e cai repentinamente. Depois de deslizar, os dois discos comec¸am a ter a mesma velocidade de rotac¸˜ao em torno do eixo original de rotac¸˜ao. Qual ´e a grandeza da velocidade de rotac¸˜ao final dos discos combinados? 18 CAP´ITULO 10. MOVIMENTO NUM C´IRCULO Exerc´ıcio 10.12 A in´ercia de rotac¸˜ao de qualquer objeto plano em torno do eixo per- pendicular ao objeto ´e igual a soma das in´ercias de rotac¸˜ao sobre dois eixos mutual- mente perpendiculares no plano do objeto, se os trˆes eixos passam pelo mesmo ponto comum. Utilizando esse ”teorema dos eixos perpendiculares”, determine (a) a in´ercia de rotac¸˜ao de um aro uniforme de in´ercia m e raio R sobre um diˆametro do aro e (b) a in´ercia de rotac¸˜ao de uma placa quadrada uniforme de lado a sobre uma linha que vai de um ponto m´edio de um lado at´e o ponto m´edio do lado oposto. Exerc´ıcio 10.13 A estrutura da figura ´e feita de trˆes hastes idˆenticas, uniformes. Estabelec¸a a ordem crescente das in´ercias rotacionais dasa estruturas, considerando os quatro eixos de rotac¸˜ao representados pelas linhas tracejadas. 10.7. PROBLEMAS 19 Problema 10.1 Um carro de montanha-russa inicialmente a uma altura h acima do ch˜ao comec¸a uma descida ´ıngreme na pista e ent˜ao entra num loop circular de raio R cuja parte mais baixa est´a a uma distˆancia d acima do ch˜ao. Ignore o atrito. (a) Qual ´e a velocidade do carro quando ele atinge a parte mais baixa do loop? (b) Qual ´e o m´odulo da forc¸a normal exercida sobre o carro neste instante? (c) Qual ´e a velocidade do carro quando este est´a a 1/4 dentro do loop? (d) Qual ´e o m´odulo da forc¸a normal exercida nesta posic¸˜ao? (e) Qual ´e a acelerac¸˜ao do carro nesta posic¸˜ao? Problema 10.2 Uma esfera ´e colocada dentro de um cone e colocada para se mover com velocidade constante de 3,00 m/s num c´ırculo horizontal de raio 0,500 m. (a) Qual ´e a componente centr´ıpeta da acelerac¸˜ao da esfera? (b) Qual ´e a componente tangencial da acelerac¸˜ao da esfera? (c) Que forc¸a age contra a forc¸a da gravidade para manter a esfera se movendo num c´ırculo horizontal? (d) Determine a altura h na qual a bola est´a se movendo em relac¸˜ao `a parte mais baixa do cone. Problema 10.3 Um dardo de in´ercia md ´e atirado contra um alvo com velocidade vd. O alvo ´e um disco uniforme de in´ercia ma e raio Ra. O alvo est´a inicialmente rodando na direc¸˜ao hor´aria com velocidade rotacional ω em torno de um eixo que passa pelo seu centro e ´e perpendicular ao seu plano. Assuma que a in´ercia do dardo est´a concentrada na sua ponta. Qual ´e a velocidade angular do alvo ap´os a colis˜ao se o dardo (a) atinge o alvo de forma apenas tangente, grudando no alvo, e (b) atinge o alvo de forma normal, tamb´em grudando no alvo? 20 CAP´ITULO 10. MOVIMENTO NUM C´IRCULO Problema 10.4 Um bloco de in´ercia m est´a conectado a uma corda leve que passa por um disco uniforme tamb´em de in´ercia m. O disco tem raio R e roda em torno de um eixo que passa pelo seu centro. O lado oposto do bloco est´a conectado a uma mola de constante k e comprimento relaxado l presa na base de um plano inclinado que faz um ˆangulo θ com a horizontal. O bloco est´a em repouso com a mola esticada uma distˆancia d em relac¸˜ao ao seu comprimento relaxado, com o bloco posicionado nesta posic¸˜ao por uma brac¸adeira. Quando a brac¸adeira ´e desapertada, de forma que o bloco fica livre para se mover, o bloco desce o plano. Qual ´e a velocidade do bloco quando a mola est´a na metade do seu comprimento relaxado? Ignore o atrito entre o bloco e o plano inclinado. Problema 10.5 Um cubo com faces lisas de in´ercia m e lado de faces d desliza ao longo de um ch˜ao muito bem polido (ou seja, despreze o atrito)com velocidade v e colide com o limiar de uma porta. A colis˜ao faz o cubo virar como mostrado na figura. Na medida que o cubo vira, seu centro de massa est´a localizado a uma posic¸˜ao horizontal vari´avel medida pela distˆancia x; x = 0 quando o cubo atinge o limiar. Qual ´e a velocidade de rotac¸˜ao do cubo em func¸˜ao de x? A in´ercia de rotac¸˜ao do cubo em torno do seu canto ´e 2 3md2. (Sugest˜ao: chame a disˆancia vertical que o seu centro de massa se desloca de h.) 10.7. PROBLEMAS 21 Lista de problemas escolhidos para aula explorat´oria: Atividade 10.4, Atividade 10.5, Exerc´ıcio 10.2, Exerc´ıcio 10.5, Exerc´ıcio 10.7, Problema 10.4 22 CAP´ITULO 10. MOVIMENTO NUM C´IRCULO