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Cássius Henrique Estatística Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Distribuição condicional Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Distribuição Conjunta para o caso Discreto ▪ Suponha que dado experimento aleatório envolve duas VAD’s: X e Y: ➢ A função de probabilidade conjunta: pXY (x, y) = P(X = x e Y = y) ➢ Se o par (x, y) é impossível, então: pXY(x, y) = zero ➢ Ao inclui todos os valores possíveis do par (X, Y), teremos ➢ Para qualquer subconjunto A do plano xy, ( ) 1 , 1 1 =   =  = i j j i XY x y p ( )   ( ) ( )  =  A y x i i XY i i x y p A X Y P , , , Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Distribuição Bivariada para o caso Discreto ▪ Tabela de Probabilidades x1 x2 x3 ... y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) y2 P(x1, y2) P(x2, y2) P(x3, y2) y3 P(x1, y3) P(x2, y3) P(x3, y3) ... ... Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Distribuições de Probabilidades Condicionais ▪ Quando duas VA’s são definidas em um experimento aleatório, o conhecimento de uma delas por mudar as probabilidades que associamos com os valores da outra ▪ Notações: P(X = x | Y = y) P(Y = y | X = x) P(Y < y | X = x) P(Y > y | X = x) P(X < x | Y = y) P(X < x | Y = y) ... Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Relembrando... Probabilidade Condicional associada a eventos ▪ Lembre-se de que a definição de probabilidades condicionais para os eventos A e B é dada por: ▪ Essa definição pode ser aplicada com o evento A definido como X = x e o evento B definido como Y = y (por exemplo...) ) ( ) ( ) | ( A P B P A P B A  = Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Distribuições de Probabilidade Condicional Dadas as variáveis discretas X e Y, com função de probabilidade conjunta ▪ a função de probabilidade condicional que fornece as probabilidades condicionais para os valores de Y, dado que X = x, será dada por: ▪ a função de probabilidade condicional que fornece as probabilidades condicionais para os valores de X, dado que Y = y, será dada por: 0 ( ) ; ) ( ( , ) ) | (  = x f x f x y f y f X X XY x Y 0 ( ) ; ) ( ( , ) ) | (  = y f y f x y f y f Y Y XY y X ( , ) x y f XY Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Exercício 1 Determine x1 x2 x3 y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) y2 P(x1, y2) P(x2, y2) P(x3, y2) y3 P(x1, y3) P(x2, y3) P(x3, y3) ) ( 1 | y f Y x x = Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução x1 x2 x3 y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) y2 P(x1, y2) P(x2, y2) P(x3, y2) y3 P(x1, y3) P(x2, y3) P(x3, y3) fX Desenvolva a distribuição marginal que for necessária. Nesse caso apenas a de X será necessária ) ( ( , ) ) | ( x f x y f y f X XY Y x = Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução x1 x2 x3 y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) y2 P(x1, y2) P(x2, y2) P(x3, y2) y3 P(x1, y3) P(x2, y3) P(x3, y3) fX ) ( ( , ) ) | ( x f x y f y f X XY Y x = Já sei previamente que X = x1 aconteceu. Desconsidero os demais valores de x que não aconteceram Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução x1 y1 P(x1, y1) y2 P(x1, y2) y3 P(x1, y3) fX ) ( ( , ) ) | ( x f x y f y f X XY Y x = Agora, aplico a fórmula para cada termo da tabela resultante Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução x1 y1 P(x1, y1) y2 P(x1, y2) y3 P(x1, y3) fX ) | ( y f Y x Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Esperança Condicional ▪ Esperança (Condicional) ➢ Esperança de Y dado um valor de X = x ➢ Esperança de X dado um valor de Y = y ( ) ( ) y y f Y x E y Y x Y x =   = | | |  ( ) ( )x x f X y E x X y X y =   = | | |  Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Variância Condicional ▪ Variância (Condicional) ➢ Variância de Y dado um valor de X = x ➢ Variância de X dado um valor de Y = y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 | | | 2 | 2 | ² | x Y y x Y y Y x Y x Y x y f y y f y Var Y x     −       =  − = =   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 | | | 2 | 2 | ² | y X x y X x X y X y X y x f x x f x Var Y x     −       =  − = =   Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Exercício 2 Uma urna contém 4 bolas pretas (P), 2 bolas brancas (B) e 2 bolas vermelhas (V). Extraem-se 2 bolas dessa urna, sem reposição. Seja X o número de bolas pretas e Y o número de bolas vermelhas. A distribuição conjunta é apresentada a seguir. a) Desenvolva todas as probabilidades condicionais (para X = x e para Y = y) b) P(X | Y = 2) c) P(X = 0 | Y = 2) d) P(Y < 1 | X = 0) e) P(Y = 1 | X = y) f) Calcule a esperança e a variância condicionais de Y, sabendo que X = 0. Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução a) Primeiro, encontramos a distribuição marginal fY somando a linha (para cada valor de Y). A distribuição marginal fX é encontrada somando a coluna (para cada valor de X) x fy 0 1 2 y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 1 0,142857 0,285714 0 0,43 2 0,035714 0 0 0,03 fx 0,2143 0,5714 0,2143 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fY|x (Y | X = x) 0 1 2 fY|x (Y | X = 0) fY|x (Y | X = 1) fY|x (Y | X = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 y 0 0,167 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 2 0,035714 0 0 0,03 2 fx 0,2143 0,5714 0,2143 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fY|x (Y | X = x) 0 1 2 fY|x (Y | X = 0) fY|x (Y | X = 1) fY|x (Y | X = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 y 0 0,167 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,667 2 0,035714 0 0 0,03 2 fx 0,2143 0,5714 0,2143 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fY|x (Y | X = x) 0 1 2 fY|x (Y | X = 0) fY|x (Y | X = 1) fY|x (Y | X = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 y 0 0,167 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,667 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,167 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fY|x (Y | X = x) 0 1 2 fY|x (Y | X = 0) fY|x (Y | X = 1) fY|x (Y | X = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 y 0 0,167 0,500 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,667 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,167 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fY|x (Y | X = x) 0 1 2 fY|x (Y | X = 0) fY|x (Y | X = 1) fY|x (Y | X = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 y 0 0,167 0,500 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,667 0,500 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,167 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fY|x (Y | X = x) 0 1 2 fY|x (Y | X = 0) fY|x (Y | X = 1) fY|x (Y | X = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 y 0 0,167 0,500 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,667 0,500 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,167 0 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fY|x (Y | X = x) 0 1 2 fY|x (Y | X = 0) fY|x (Y | X = 1) fY|x (Y | X = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 y 0 0,167 0,500 1,000 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,667 0,500 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,167 0 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fY|x (Y | X = x) 0 1 2 fY|x (Y | X = 0) fY|x (Y | X = 1) fY|x (Y | X = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 y 0 0,167 0,500 1,000 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,667 0,500 0 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,167 0 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fY|x (Y | X = x) 0 1 2 fY|x (Y | X = 0) fY|x (Y | X = 1) fY|x (Y | X = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 y 0 0,167 0,500 1,000 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,667 0,500 0 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,167 0 0 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 1,000 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fX|y (X | Y = y) 0 1 2 fX|y (X | Y = 0) fX|y (X | Y = 1) fX|y (X | Y = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 x 0 0,067 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 2 0,035714 0 0 0,03 2 fx 0,2143 0,5714 0,2143 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fX|y (X | Y = y) 0 1 2 fX|y (X | Y = 0) fX|y (X | Y = 1) fX|y (X | Y = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 x 0 0,067 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,533 2 0,035714 0 0 0,03 2 fx 0,2143 0,5714 0,2143 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fX|y (X | Y = y) 0 1 2 fX|y (X | Y = 0) fX|y (X | Y = 1) fX|y (X | Y = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 x 0 0,067 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,533 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,400 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fX|y (X | Y = y) 0 1 2 fX|y (X | Y = 0) fX|y (X | Y = 1) fX|y (X | Y = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 x 0 0,067 0,333 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,533 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,400 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fX|y (X | Y = y) 0 1 2 fX|y (X | Y = 0) fX|y (X | Y = 1) fX|y (X | Y = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 x 0 0,067 0,333 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,533 0,667 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,400 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fX|y (X | Y = y) 0 1 2 fX|y (X | Y = 0) fX|y (X | Y = 1) fX|y (X | Y = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 x 0 0,067 0,333 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,533 0,667 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,400 0 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fX|y (X | Y = y) 0 1 2 fX|y (X | Y = 0) fX|y (X | Y = 1) fX|y (X | Y = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 x 0 0,067 0,333 1,000 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,533 0,667 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,400 0 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fX|y (X | Y = y) 0 1 2 fX|y (X | Y = 0) fX|y (X | Y = 1) fX|y (X | Y = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 x 0 0,067 0,333 1,000 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,533 0,667 0 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,400 0 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Agora encontramos as distribuições condicionais x fy fX|y (X | Y = y) 0 1 2 fX|y (X | Y = 0) fX|y (X | Y = 1) fX|y (X | Y = 2) y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 x 0 0,067 0,333 1,000 1 0,142857 0,285714 0 0,43 1 0,533 0,667 0 2 0,035714 0 0 0,03 2 0,400 0 0 fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 1,000 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Então, temos fX|y (X | Y = y) fX|y (X | Y = 0) fX|y (X | Y = 1) fX|y (X | Y = 2) x 0 0,067 0,333 1,000 1 0,533 0,667 0 2 0,400 0 0 1,000 1,000 1,000 fY|x (Y | X = x) fY|x (Y | X = 0) fY|x (Y | X = 1) fY|x (Y | X = 2) y 0 0,167 0,500 1,000 1 0,667 0,500 0 2 0,167 0 0 1,000 1,000 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução b) fX|y (X | Y = y) fX|y (X | Y = 0) fX|y (X | Y = 1) fX|y (X | Y = 2) x 0 0,067 0,333 1,000 1 0,533 0,667 0 2 0,400 0 0 1,000 1,000 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução c) fX|y (X | Y = y) fX|y (X | Y = 0) fX|y (X | Y = 1) fX|y (X | Y = 2) x 0 0,067 0,333 1,000 1 0,533 0,667 0 2 0,400 0 0 1,000 1,000 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução d) fY|x (Y | X = x) fY|x (Y | X = 0) fY|x (Y | X = 1) fY|x (Y | X = 2) y 0 0,167 0,500 1,000 1 0,667 0,500 0 2 0,167 0 0 1,000 1,000 1,000 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução e) x fy 0 1 2 y 0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 1 0,142857 0,285714 0 0,43 2 0,035714 0 0 0,03 fx 0,2143 0,5714 0,2143 Distribuição conjunta pXY Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução f) fY|x (Y | X = x) fY|x (Y | X = 0) fY|x (Y | X = 1) fY|x (Y | X = 2) y 0 0,167 0,500 1,000 1 0,667 0,500 0 2 0,167 0 0 1,000 1,000 1,000 Cássius Henrique Estatística Independência Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Independência ▪ Para VAD’s X e Y, se qualquer uma das seguintes propriedades for verdadeira, então as outras também serão verdadeiras e X e Y serão independentes. ➢ para todo x e y ➢ para todo x e y, com ➢ para todo x e y, com ➢ para quaisquer conjuntos A e B, na faixa de X e Y, respectivamente ( ) ( ) ( ) y f x f x y f Y X XY  = , ( ) ( ) y f y f Y Y x = | ( ) x  0 f X ( ) fY y  0 ( ) ( ) x f x f X X y = | ( ) ( ) ( B) P Y A P X B A Y P X    =   , Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Exercício 3 Para X e Y do exercício 2, verifique se X e Y são independentes. Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Como já mostrado na solução do exercício 2, as probabilidades condicionais são diferentes. Outra forma de verificar é se para todo par (x, y) vale a igualdade ( ) ( ) ( ) y f x f x y f Y X XY  = , Cássius Henrique Estatística Covariância Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Covariância ▪ Quando 2 ou mais variáveis aleatórias são definidas em um espaço probabilístico, é útil descrever como elas variam conjuntamente; ou seja, é útil medir a relação entre as variáveis. Uma medida comum da relação entre 2 variáveis aleatórias é a covariância. ▪ De modo a definir a covariância, necessitamos descrever o valor esperado de uma função de 2 variáveis aleatórias h(x, y). ➢ A definição simplesmente é um extensão daquela usada para uma variável aleatória simples. Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Covariância ▪ Valor Esperado (para VAD’s): ➢ E[h(x, y)] pode ser pensado com a média ponderada de h(x, y) para cada ponto na faixa de (X, Y). O valor esperado E[h(x, y)] representa o valor médio de h(x, y) que é esperado em um longa sequência de tentativas repetidas do experimento aleatório. ( )   ( ) ( )   = x y f h X Y E h X Y XY , , , Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Covariância ▪ A covariância entre as variáveis aleatórias X e Y, é dada por: ▪ É uma medida de relação linear entre as variáveis aleatórias. ( )( )   ( ) Y X Y X XY E XY Y E X X Y      − = − − = = , ) cov( (a) (b) Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Covariância Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Covariância Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Covariância Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Covariância Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Covariância ▪ (Figura d) ➢ Se a relação entre as VA’s é não linear ✓a covariância pode não ser sensível à relação ➢ Os únicos pontos com probabilidade não zero são os pontos no círculo. ➢ Há uma relação identificável, embora a covariância seja zero. Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Exercício 4 Dada a distribuição de probabilidade conjunta, determine a covariância. Utilize a fórmula (b) Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Cássius Henrique Estatística Correlação Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Correlação ▪ Há outra medida de relação entre 2 VA’s que é frequentemente mais fácil de interpretar que a covariância. ▪ A correlação entre as variáveis aleatórias X e Y é dada por ▪ Devido X > 0 e Y > 0, se a covariância entre X e Y for positiva, negativa ou zero, a correlação entre X e Y será positiva, negativa ou zero, respectivamente. ( ) Y X XY XY Var Y X Var Y X      =  = ( ) ) ( , cov Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Correlação ▪ Para quaisquer duas VA’s X e Y, temos: ▪ A correlação só escalona a covariância através do desvio-padrão de cada variável. ➢ A correlação é uma grandeza adimensional que pode ser usada para comparar as relações lineares entre pares de variáveis em diferentes unidades. ▪ 2 VA’s com correlação não zero são ditas correlacionadas. ▪ Similar à covariância, a correlação é uma medida de relação linear entre VA’s 1 1  +  − XY Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Covariância e Correlação para o teste da Independência ▪ Se X e Y são variáveis aleatória independentes, então: ▪ Independência implica em correlação = 0, mas não o contrário! = 0 = XY XY   Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Shiny: Covariância e Correlação https://monitoriaexatas2020-2.shinyapps.io/Correlacao-e-Covariancia/?_ga=2.245098437.154938651.1610124375- 493733460.1608033179#section-gr%C3%A1fico-interativo Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Exercício 5 Dada a distribuição de probabilidade conjunta, determine a correlação. Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Já calculamos a covariância no exercício anterior. Também já calculamos naquele exercício as esperanças marginais Precisamos calcular as variâncias marginais Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Exercício 6 Chamadas são feitas para verificar o horário de aviões na cidade de suas partidas. Você monitora o número de barras de potência de sinal de seu celular e o número de vezes em que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida antes do sistema de vozes reconhecer o nome. Nos 4 primeiros bits transmitidos, seja X o número de barras de potência de sinal em seu telefone celular e Y o número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida. Considere a distribuição ao lado. Calcule a correlação entre as variáveis X e Y. x fY 1 2 3 y 4 0,15 0,1 0,05 0,30 3 0,02 0,1 0,05 0,17 2 0,02 0,03 0,2 0,25 1 0,01 0,02 0,25 0,28 fX 0,20 0,25 0,55 Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução Aula 16 Vetores aleatórios bidimensionais discretos: Distribuição condicional. Independência; Covariância e Correlação Cássius Henrique Estatística Solução