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Introduc¸ ˜ao `a Cinem´atica dos Fluidos PME 3230 - Mecˆanica dos Fluidos I PME/EP/USP Prof. Antonio Luiz Pac´ıfico 2◦ Semestre de 2023 Conte´udo da Aula Introduc¸ ˜ao Descric¸ ˜ao do Movimento dos Fluidos Classificac¸ ˜ao de Escoamentos de Fluidos Conceito de Vaz˜ao Exerc´ıcios Introduc¸ ˜ao A cinem´atica dos fluidos trata do estudo do movimento dos fluidos sem considerar as forc¸as que est˜ao atuando. Cabe `a cinem´atica dos fluidos: ▶ descrever campos de velocidades; ▶ descrever campos de acelerac¸ ˜oes; ▶ descric¸ ˜oes dos movimentos; ▶ auxiliar na visualizac¸ ˜ao dos movimentos dos fluidos. Os fluidos movem-se devido a tens˜oes atuantes sobre eles: tens˜oes normais de compress˜ao (que combinadas resultam na press˜ao sobre o fluido); tens˜oes de cisalhamento. H´a muitos fenˆomenos que ocorrem frequentemente ao nosso redor que permitem a visualizac¸ ˜ao dos escoamentos: ▶ fumac¸a de chamin´es e cigarros; ▶ movimento de nuvens na atmosfera; ▶ movimento de ondas em mares, lagos, rios; ▶ mistura de fluidos de colorac¸ ˜oes diferentes. Exemplos de Visualização Descric¸ ˜ao Euleriana e Langrangiana dos Escoamentos Considere uma grandeza qualquer, G, escalar ou vetorial, que possa ser estudada em func¸ ˜ao do tempo. M´etodo de Lagrange [Joseph L. Lagrange (1736 a 1813)]: consiste em acompanhar a part´ıcula ao longo da sua trajet´oria, de uma posic¸ ˜ao inicial A, para, em cada instante, encontrar o valor da grandeza G = GL(xA,yA,zA,t). O ponto (xA,yA,zA) ´e o ponto inicial e o nome de cada part´ıcula. Este m´etodo aplicado `a mecˆanica dos fluidos resulta em acompanhar muitas part´ıculas, o que torna esta tarefa extremamente dif´ıcil. Por´em, h´a algumas situac¸ ˜oes pr´aticas onde o m´etodo de Lagrange ´e ´util, tais como, a descric¸ ˜ao do movimento de b´oias oceˆanicas, bal˜oes meteorol´ogicos, migrac¸ ˜ao de p´assaros, rastreamento de ve´ıculos por sat´elite. Descric¸ ˜ao Euleriana e Langrangiana dos Escoamentos M´etodo de Euler [Leonhard Euler (1707 a 1783)]: consiste em se fixar um ponto geom´etrico P(xP,yP,zP) para se detectar ai a grandeza f´ısica associada `as part´ıculas que, em diferentes instantes, passam por P. Assim, G = GE(xP,yP,zP,t). Neste caso as grandezas passam a ser func¸ ˜oes tanto do espac¸o como do tempo. A regi˜ao f´ısica do escoamento quando estudada por esse m´etodo recebe o nome de campo de escoamento. Geralmente, o m´etodo de Euler ´e mais utilizado: ▶ na maioria dos casos pr´aticos as part´ıculas n˜ao conservam sua individualidade f´ısica (seja por difus˜ao, seja por turbulˆencia), o que prejudica a descric¸ ˜ao da trajet´oria (se fosse, ent˜ao, utilizado o m´etodo lagrangiano); ▶ as leis f´ısicas obtidas pelo m´etodo euleriano s˜ao mais f´aceis de aplicar em situac¸ ˜oes reais; ▶ a dimens˜ao das part´ıculas num escoamento resulta proibitivo o uso de instrumentos que possam ser utilizados durante sua trajet´oria. Principais Linhas do Escoamento Linha de Trajetória: conjunto de pontos percorridos por uma partícula no campo de escoamento; ela fornece o histórico das localizações da partícula. Matematicamente ela é definida pela integração dos componentes da velocidade: x = ∫ u.dt ; y = ∫ v.dt ; z = ∫ w.dt Linha de Emissão: uma linha instantânea, formada pelos pontos ocupados por todas as partículas originárias de um ponto específico do escoamento. Linha de Corrente: linha instantânea que é tangente em todos os pontos ao vetor velocidade do escoamento. Para uma linha de corrente pode-se escrever: dx/u = dy/v = dz/w = d𝑟̅/𝑉̅ Principais Linhas do Escoamento V V V V V x d r = 0 para uma LC: V r r d y x z LC Observe que, para uma linha de corrente (LC), o produto vetorial ⃗V × d⃗r = 0, pois tanto ⃗V como d⃗r est˜ao na mesma direc¸ ˜ao. Tubo de corrente: ´e um tubo (fict´ıcio) cujas paredes s˜ao formadas por linhas de corrente. Como a velocidade ´e tangente `as linhas de corrente, nenhuma part´ıcula fluida pode atravessar as paredes de um tubo de corrente. Uma tubulac¸ ˜ao ´e um tubo de corrente, assim como um canal aberto. Para escoamentos em regime permanente, as linhas de trajet´oria, de emiss˜ao e de corrente s˜ao todas coincidentes. Campo de Velocidades O campo de velocidades de um fluido é expressado pelos seu vetor velocidade, 𝑉̅, dado por: 𝑉̅ = u(x, y, z, t).𝑖̅ + v(x, y, z, t).𝑗̅ + w(x, y, z, t).𝑘̅ é comum também designar os componentes do vetor velocidade u, v e w por V_x, V_y e V_z, respectivamente. Outras equações importantes relativas à este tópico: 𝑉̅ = d𝑟̅/dt , onde 𝑟̅ = 𝑟̅(x, y, z, t) |𝑉̅| = √u² + v² + w² Derivadas Material, Local e Convectiva A descrição matemática da taxa, ou derivada temporal, de uma propriedade do fluido num escoamento depende do método escolhido para sua descrição: euleriano ou lagrangiano. Como o método euleriano é o mais utilizado, passa-se à dedução de uma taxa neste método para uma grandeza G (genérica), escalar ou vetorial. Considere dois instantes sucessivos, 1 e 2. De tal modo que se pode escrever para cada um deles: G1 = G(x1, y1, z1, t1) e G2 = G(x2, y2, z2, t2). Para prever o valor de G2 conhecendo-se G1 pode-se utilizar a expansão em série de Taylor a partir do ponto 1: G2 = G1 + (∂G/∂x)_1 * (x2 - x1) + (∂G/∂y)_1 * (y2 - y1) + (∂G/∂z)_1 * (z2 - z1) + (∂G/∂t)_1 * (t2 - t1) + TOS Derivadas Material, Local e Convectiva Dividindo-se a eq. anterior por (t2 - t1) e ignorando os termos de ordem superior, obtém-se: (G2 - G1) / (t2 - t1) = (∂G/∂x)_1 * (x2 - x1) / (t2 - t1) + (∂G/∂y)_1 * (y2 - y1) / (t2 - t1) + (∂G/∂z)_1 * (z2 - z1) / (t2 - t1) + (∂G/∂t)_1 Na eq. acima, o lado esquerdo é a taxa média de variação (temporal) da grandeza G quando o fluido se move da posição 1 para a posição 2. No limite, quando t2 → t1: lim (t2→t1) (G2 - G1) / (t2 - t1) = dG/dt ≡ DG/Dt onde DG/Dt é conhecida como derivada material (ou substancial, ou total) e representa a variação instantânea da grandeza G do elemento fluido através do ponto 1. Derivadas Material, Local e Convectiva Para os outros termos, quando t2 → t1: lim (t2→t1) (x2 - x1) / (t2 - t1) = u ; lim (t2→t1) (y2 - y1) / (t2 - t1) = v ; lim (t2→t1) (z2 - z1) / (t2 - t1) = w Assim, DG/Dt = u · ∂G/∂x + v · ∂G/∂y + w · ∂G/∂z + ∂G/∂t Introduzindo o operador ∇: ∇ = ∂/∂x · î + ∂/∂y · ĵ + ∂/∂z · k̂ obtém-se, finalmente: DG/Dt = ∂G/∂t + (𝑉 ̅ · ∇ ̅) · G ≡ derivada material derivada local derivada convectiva Derivadas Material, Local e Convectiva A derivada local, ∂G/∂t, é o termo que se anula quando o escoamento encontra-se em regime permanente. Exemplo para interpretação: ”Em uma tubulação, a aceleração local aparece se uma válvula está sendo aberta ou fechada; e a aceleração convectiva ocorre na vizinhança de uma mudança da geometria da tubulação, tal como o estreitamento da seção ou um cotovelo. Em ambos os casos as partículas mudam de velocidade, mas por razões totalmente diferentes.”[(POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014)] Se G é um vetor, então primeiro deve-se fazer o produto →V • ∇→ e, então, aplicar o resultado a G. Se G é um escalar, é indiferente escrever (→V • ∇→) .G ou →V • ∇→.G. Derivadas Material, Local e Convectiva Numa descric¸ ˜ao lagrangiana, a derivada material ´e dada simplesmente por: DGL Dt = lim ∆t→0 GL(xA,yA,zA,t +∆t)− GL(xA,yA,zA,t) ∆t OBS: lembrar que o ponto (xA,yA,zA) define o ponto inicial (que ´e usado ent˜ao como nome) de uma part´ıcula espec´ıfica. Embora mais simples matematicamente falando, sua dificuldade consiste em obter os valores da grandeza G de cada part´ıcula `a medida que passa o tempo (e a part´ıcula, portanto, move-se)! Aceleração Se G = →V, então D→V/Dt = →a, onde →a é a aceleração: D→V/Dt = ∂→V/∂t + (→V • ∇→) • V = ∂→V/∂t + u • ∂→V/∂x + v • ∂→V/∂y + w • ∂→V/∂z onde, ∂→V/∂t = ∂u/∂t • →i + ∂v/∂t • →j + ∂w/∂t • →k u • ∂→V/∂x = u • ∂u/∂x • →i + u • ∂v/∂x • →j + u • ∂w/∂x • →k v • ∂→V/∂y = v • ∂u/∂y • →i + v • ∂v/∂y • →j + v • ∂w/∂y • →k w • ∂→V/∂z = w • ∂u/∂z • →i + w • ∂v/∂z • →j + w • ∂w/∂z • →k Aceleração Concluindo, →a = ( ∂u/∂t + u • ∂u/∂x + v • ∂u/∂y + w • ∂u/∂z ) • →i {ax} + ( ∂v/∂t + u • ∂v/∂x + v • ∂v/∂y + w • ∂v/∂z ) • →j {ay} + ( ∂w/∂t + u • ∂w/∂x + v • ∂w/∂y + w • ∂w/∂z ) • →k {az} Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais Um campo de escoamento ´e melhor caracterizado pela distribuic¸ ˜ao de velocidade e desse modo o escoamento ´e dito ser uni, bi ou tridimensional se a velocidade do escoamento varia basicamente em uma, duas ou trˆes dimens˜oes respectivamente. Quando a variac¸ ˜ao de velocidade em certas direc¸ ˜oes ´e pequena em relac¸ ˜ao `as outras, as primeiras podem ser ignoradas (erro desprez´ıvel). Para a regi˜ao de perfil de velocidade completamente desenvolvido (trecho de ´area de sec¸ ˜ao constante na figura) o escoamento ´e unidimensional em coordenadas cil´ındricas, mas bidimensional em coordenadas cartesianas! Escoamento Uniforme Como todos os fluidos satisfazem a condic¸ ˜ao de aderˆencia, forc¸osamente s˜ao sempre bi ou tridimensionais. Para simplificac¸ ˜ao, muitas vezes utiliza-se o conceito de escoamento uniforme que deve ser entendido numa sec¸ ˜ao transversal do escoamento. Para um escoamento que ´e dito uniforme numa dada sec¸ ˜ao transversal a velocidade deve ser considerada constante atrav´es de qualquer sec¸ ˜ao normal ao escoamento, como ilustra a figura acima. Para esta figura, tal hip´otese simplifica o problema que pode ser tratado, agora, como unidimensional. Escoamentos Viscosos e N˜ao Viscosos A forc¸a de arrasto que se sente ao colocar a m˜ao para fora de um carro em movimento ´e devida ao atrito viscoso com o ar, `a diferenc¸a de press˜ao (a montante e jusante) ou ambos? Neste exemplo a resposta seria: depende muito mais da diferenc¸a de press˜ao que do atrito viscoso. Mas, como predizer a importˆancia relativa da viscosidade em qualquer instante, para qualquer condic¸ ˜ao de escoamento? A resposta ´e que podemos por meio do c´alculo do n´umero de Reynolds: Re = ρ.V.L/µ. Para Re elevados os efeitos da viscosidade s˜ao desprez´ıveis; para Re pequenos os efeitos viscosos ser˜ao dominantes. Um escoamento onde a viscosidade pode ser desprezada ´e chamado inv´ıscido. Existem muitos desdobramentos relativos `a esta quest˜ao que ser˜ao apresentados `a medida que o curso avance. Na figura acima, em (a) seria a forma das LC previstas para um escoamento inv´ıscido sobre uma esfera, mas na pr´atica, em (b), sabe-se que a viscosidade ´e fundamental para explicar este escoamento espec´ıfico. Escoamentos Laminares e Turbulentos Um escoamento laminar ´e aquele onde as part´ıculas movem-se em camadas lisas, ou lˆaminas. Quando o fluido ´e transl´ucido tem aparˆencia ”vitrificada”. Um escoamento turbulento ´e aquele no qual as part´ıculas misturam-se rapidamente, devido `as flutuac¸ ˜oes aleat´orioas no campo tridimensional de velocidades. Escoamentos turbulentos s˜ao sempre tridimensionais. O que se pode falar ´e apenas de uma direc¸ ˜ao predominante do escoamento, como indicado na figura acima para a componente na direc¸ ˜ao axial (x) do escoamento. Assim, o conceito de regime permanente, quando o escoamento ´e turbulento, deve ser entendido para a m´edia da vari´avel (propriedade) em an´alise: escoamentos turbulentos s´o podem ser permanentes em m´edia. Neste tipo de escoamento as flutuac¸ ˜oes (u′,v′,w′) transportam quantidade de movimento atrav´es das LC’s aumentando a tens˜ao de cisalhamento m´edia. Escoamentos turbulentos apoiam-se em teorias semi-emp´ıricas e em dados experimentais. Turbulˆencia ´e propriedade do escoamento, n˜ao do fluido. Escoamentos Incompress´ıveis e Compress´ıveis Escoamentos nos quais as variac¸ ˜oes da massa espec´ıfica s˜ao desprez´ıveis s˜ao denominados incompress´ıveis; do contr´ario chamam-se compress´ıveis. Gases comportam-se como fluidos compress´ıveis, enquanto l´ıquidos s˜ao, geralmente, incompress´ıveis. Estes apresentam alguma compressibilidade somente quando submetidos a press˜oes muit´ıssimo elevadas. Quando o m´odulo de compressibilidade de um l´ıquido for independente da temperatura, sua massa espec´ıfica passa a ser func¸ ˜ao apenas da press˜ao e o fluido ´e dito barotr´opico. Informac¸ ˜ao de ordem pr´atica: O n´umero de Mach (M) ´e definido como a raz˜ao entre a velocidade m´edia do escoamento, V, e a velocidade do som no meio (fluido), c: M = V/c. Para M < 0,3 a variac¸ ˜ao m´axima da massa espec´ıfica de um g´as ´e menor que 5%. Assim, para 0 < M < 0,3 os escoamentos de gases podem ser considerados incompress´ıveis. Para o ar isso equivale, aproximadamente, a V < 100 m/s. Regimes de Escoamentos Escoamento em regime permanente implica n˜ao haver mudanc¸a das propriedades [de interesse] do escoamento com o passar do tempo. Escoamento em regime transit´orio ´e aquele onde as propriedades do escaomento (n˜ao h´a necessidade de que sejam todas) sofrem alterac¸ ˜ao com o passar do tempo. Os escoamentos neste regime podem ser peri´odicos (escoamento no interior de um motor), ou n˜ao peri´odicos (turbulˆencia). Um escoamento pode ser dito em regime permanente se as propriedades que est˜ao sendo estudas n˜ao variam com o tempo, mesmo que outras (que n˜ao se interessa estudar) estejam variando. Se, por exemplo, a temperatura n˜ao altera as propriedades de interesse num escoamento e ela esteja variando, o escoamento pode ser dito em regime permanente se ela n˜ao for considerada. O regime neste contexto deve ser entendido como caracter´ıstica do escoamento, nunca do fluido. Conceito de Vaz˜ao: vis˜ao simplificada Considere regime permanente: a quantidade de massa que entra deve ser igual a que sai para o mesmo intervalo de tempo. Define-se vaz˜ao m´assica, ˙m [kg/s no SI], por: ˙m = ρ.Q, onde Q ´e a vaz˜ao volum´etrica [m3/s no SI]. Tomando, por exemplo a sec¸ ˜ao de sa´ıda: se a ´area da sec¸ ˜ao transversal desta sa´ıda for A2 e o fluido a atravessa perpendicularmente com velocidade m´edia V2, ent˜ao o volume de fluido que atravessa esta sec¸ ˜ao no intervalo de tempo δt ser´a V2.A2.δt. Assim, a vaz˜ao volum´etria (raz˜ao volume por tempo) ser´a Q2 = V2.A2. Deste modo conclui-se tamb´em que ˙m2 = ρ2.V2.A2. Pela conservac¸ ˜ao da massa, ˙m1 = ˙m2 ⇒ ρ1.V1.A1 = ρ2.V2.A2. Se a massa espec´ıfica for constante (ρ1 = ρ2, fluido incompress´ıvel), ent˜ao V1.A1 = V2.A2 ⇒ Q1 = Q2. Exerc´ıcio de Aula 1 Enunciado: Uma part´ıcula A passa pela origem no instante t = 0, com temperatura TA = 273 K e com velocidade VA = 10 m/s. Ao atingir o ponto de coordenadas (x = 0,1m;y = 0,1m;z = 0,141m) no instante t′ > 0, com temperatura T ′ A = 285 K, uma part´ıcula B est´a passando pela origem (no mesmo instante t′) com temperatura T ′ B = 275 K. Pede-se: (a) As derivadas local, convectiva e material (total) da temperatura na origem e no instante t = 0; (b) A derivada material da temperatura, em vari´aveis de Lagrange, no instante t = 0. [Apostila, exerc´ıcio 2.2] Exerc´ıcio de Aula 2 Enunciado: Um campo de velocidade ´e dado por ⃗V = A.x.⃗i − A.y.⃗j onde as unidades de velocidade est˜ao em m/s; x e y s˜ao dados em metros; A = 0,3 s−1. (a) Obtenha uma equac¸ ˜ao para as linhas de corrente no plano xy; (b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto (x0,y0) = (2,8); (c) Determine a velocidade de uma part´ıcula no ponto (2,8); (d) Se a part´ıcula passando pelo ponto (x0,y0) no instante t = 0 for marcada, determine a sua localizac¸ ˜ao no instante t = 6 s; (e) Qual a velocidade dessa part´ıcula em t = 6 s? (f) Mostre que a equac¸ ˜ao da trajet´oria da part´ıcula ´e a mesma equac¸ ˜ao da linha de corrente. Em que tipo de regime de escoamento isto ocorre? [(FOX; MCDONALD; PRITCHARD, 2006), exemplo 2.1] Exerc´ıcio de Aula 3 Enunciado: A velocidade do fluido ao longo do eixo x mostrado na figura muda linearmente de 6 m/s, no ponto A, para 18 m/s, no ponto B. Determine as acelerac¸ ˜oes nesta direc¸ ˜ao do escoamento nos pontos A, B e C. Admita que o regime de escoamento ´e o permanente. [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 4.21] Exercício de Aula 4 Enunciado: Água escoa pelo difusor mostrado na figura quando uma válvula é aberta. A velocidade ao longo da linha de centro do difusor é dada, em função do tempo, por \(\vec{V} = u.\vec{i} = V_0. \left(1 - e^{-ct}\right).\left(1 - \frac{x}{l}\right)\vec{i}\), onde \(V_0\), \(c\) e \(l\) são constantes. Determine a aceleração do escoamento em função de \(x\) e \(t\). Se \(V_0 = 3\) m/s e \(l = 1,5\) m, qual o valor de \(c\) (não nulo) necessário para que a aceleração seja nula em qualquer \(x\) e em \(t = 2\) s? Como a aceleração pode ser nula num escoamento onde a vazão em volume aumenta com o tempo? [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exercício 4.23] Exerc´ıcio de Aula 5 Enunciado: Ar escoa no canal formado por dois discos paralelos (veja figura). A velocidade do fluido no canal ´e dada por V = V0.R/r, onde R ´e o raio dos discos, r ´e a coordenada radial e V0 ´e a velocidade do fluido na borda do canal. Determine a acelerac¸ ˜ao em r = 0,3; 0,61 e 0,91 m, sabendo que V0 = 1,5 m/s e R = 0,91 m. [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 4.47] Exerc´ıcio de Aula 6 Enunciado: Dado o movimento plano em que, ⃗V(P,t) = (U + a.t).⃗i + V0.⃗j mostre que as linhas de corrente, no instante t0, s˜ao retas e que as linhas de trajet´orias s˜ao par´abolas. [Apostila, exerc´ıcio 2.5] Exerc´ıcio de Aula 7 Dado o campo de velocidades ⃗V(P,t) = 6.x.⃗i + 6.y.⃗j − 7.t.⃗k determine para t = 10 s e no ponto P(3 m;1,8 m;0) a velocidade e a acelerac¸ ˜ao, usando m´etodo de Euler e de Lagrange. [Apostila, exerc´ıcio 2.13] Referˆencias Bibliogr´aficas FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introduc¸ ˜ao `a Mecˆanica dos Fluidos. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN 978-85-216-1468-5. MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecˆanica dos Fluidos. 4. ed. S˜ao Paulo: Bl¨ucher, 2004. ISBN 978-85-212-0343-8. POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C.; RAMADAN, B. H. Mecˆanica dos Fluidos. 4. ed. S˜ao Paulo: Bl¨ucher, 2014. ISBN 978-85-221-1568-6.