TESTEBOLA 1653997512676 edomef pdf

EDO 1) \frac{d}{dx}\left(AE \frac{dm}{dx}\right) + 2x = 0 \sigma(1) = \left(E \frac{dm}{dx}\right)_{x=1} = 0,1 \mu(3) = 0,001 1 \leq x \leq 3 Solução: Vamos usar o método de Galerkin. Escrevemos: \frac{d}{dx}\left(AE \frac{dm}{dx}\right) = -2x Multiplicamos por uma função teste w \in C^0, em seguida integramos com respeito à x. \int_1^3 w \frac{d}{dx}\left(AE \frac{dm}{dx}\right) dx = -\int_1^3 2x w dx \qquad : (1) Usando integração por partes temos: \int_1^3 w \frac{d}{dx}\left(AE \frac{dm}{dx}\right) dx = \left[w (AE \frac{dm}{dx})\right]_1^3 - \int_1^3 \left(AE \frac{dm}{dx}\right) \frac{dw}{dx} dx Substituindo a equação (1) nesta última equação obtemos (assumindo w(3)=0) -\int_1^3 2x w dx = \left[0 - 0,1 (wA)\right]_{x=1} - \int_1^3 \frac{dw}{dx}\left(AE \frac{dm}{dx}\right) dx \Rightarrow \int_1^3 \frac{dw}{dx}\left(AE \frac{dm}{dx}\right) dx = -0,1 (wA)_{x=1} + \int_1^3 2x w dx w(3) = 0. Formulação Fraca. K \frac{d}{dn} \left(n \frac{dT}{dn} \right) + nq_f = 0 \frac{dT}{dn} (n=0) = 0 T(n=R) = 0 0 \leq n \leq R Solução: (i) Vamos achar a formulação fraca. Começamos multiplicando por uma função w \in C^0 (contínua) e depois integ. 0^R w K \frac{d}{dn} \left(n \frac{dT}{dn} \right) dn = - \int_0^R nq_f w dn Usando integração por partes: \int_0^R K w \frac{d}{dn} \left(n \frac{dT}{dn} \right) dn = K w(R) \left(n \frac{dT}{dn} \right)_0^R - K \int_0^R \frac{dw}{dn} \left(n \frac{dT}{dn} \right) dn \Rightarrow - \int_0^R nq_f w dn = K w(R) R \left( \frac{dT}{dn} \right)_{n=R} - K \int_0^R \frac{dw}{dn} \left(n \frac{dT}{dn} \right) dn - \int_0^R nq_f w dn = K w(R) R \left( \frac{dT}{dn} \right)_{n=R} - K \int_0^R \frac{dw}{dn} \left(n \frac{dT}{dn} \right) dn \Rightarrow K \int_0^R \frac{dw}{dn} \left(n \frac{dT}{dn} \right) dn = K w(R) R \left( \frac{dT}{dn} \right)_{n=R} + \int_0^R nq_f w dn Formulação Fraca (ii) Se\ T = \alpha_0 + \alpha_1 n + \alpha_2 n\ e\ \alpha_i = \beta_{i,0} + \beta_{i,1} n + \beta_{i,2} n\ ,\ i = 0,1,2, com\ \beta_{ij} constantes,\ \forall_{j = 0,1,2}. Logo, \frac{dI}{dn} = \left[ (\beta_{0,1} + \beta_{0,2}) + \beta_{1,0} + \beta_{2,0} \right] + \left[ 2 (\beta_{1,1} + \beta_{1,2}) \right] + 2 (\beta_{2,1} + \beta_{2,2}) \pi 0 = \left( \frac{dT}{dn} \right)_{n = 0} = \left[ \beta_{0,1} + \beta_{0,2} + \beta_{1,0} + \beta_{2,0} \right] :\ (1) k \frac{d}{dn} \left( n \frac{dT}{dn} \right) + nq = = k \left[ \beta_{0,1} + \beta_{0,2} + \beta_{1,0} + \beta_{2,0} \right] + 4 [ (\beta_{1,1} + \beta_{1,2}) + \beta_{2,1} + \beta_{2,2} ] n] + nq = \left[ 4k[(\beta_{1,1}) + (\beta_{1,2}) + (\beta_{2,1}) + \beta_{2,2})] + q \right] n Logo, isso dá zero \forall n \neq, e somente se, (\beta_{1,1} + \beta_{1,2}) + (\beta_{2,1} + \beta_{2,2}) = -\frac{q}{4k}. Isso implica que T = \beta_{0,0} - \frac{q}{4k} n^2 0 = T (n = R) = \beta_{0,0} - \frac{q}{4k} R^2 \Rightarrow \beta_{0,0} = \frac{q}{4k} R^2 \Rightarrow T = \frac{q}{4k} R^2 - \frac{q}{4k} n^2 \Rightarrow T = \frac{q}{4k} (R^2 - n^2) K \frac{d^2 \mu}{dx^2} - \lambda \mu + 2x^2 = 0 0 \leq x \leq 1 \mu(0) = 1 \mu(1) = -2 Solução. Temos k \frac{d}{dx} \left( 1 \cdot \frac{d\mu}{dx} \right) - \lambda \mu = -2x^2 Vamos multiplicar por uma função teste w \in C^1 e em seguida integrar com respeito a x. \int_0^1 \left[ k \frac{d}{dx} \left( 1 \cdot \frac{d\mu}{dx} \right) - \lambda \mu \right] w dx = -\int_0^1 2x^2 w dx ⇒ \int_0^1 k \frac{d}{dx} \left( 1 \cdot \frac{d\mu}{dx} \right) w dx = \int_0^1 \lambda \mu w dx - \int_0^1 2x^2 w dx Usando integração por partes, temos: k \int_0^1 \frac{d}{dx} \left( 1 \cdot \frac{d\mu}{dx} \right) w dx = k w \frac{d\mu}{dx} \Big]_0^1 - k \int_0^1 \frac{dw}{dx} \frac{d\mu}{dx} dx ⇒ \int_0^1 \left[ k \frac{dw}{dx} \frac{d\mu}{dx} + \lambda \mu w \right] dx = k w \frac{d\mu}{dx} \Big]_0^1 + \int_0^1 2x^2 w dx \mu(0)=1, \mu(1)=-2 k \int_0^1 \frac{d}{dx} \left( 1 \cdot \frac{d\mu}{dx} \right) w dx = k w \frac{d\mu}{dx} \Big]_0^1 - k \int_0^1 \frac{dw}{dx} \frac{d\mu}{dx} dx ⇒ \int_0^1 \left[ k \frac{dw}{dx} \frac{d\mu}{dx} + \lambda \mu w \right] dx = k w \frac{d\mu}{dx} \Big]_0^1 + \int_0^1 2x^2 w dx \mu(0)=1, \mu(1)=-2 Formulação Fraca