TESTEFEDERAL 1694054056768 ATIVIDADE 1_IAA pdf

| | i 1 PROFnssOns Qiu ALUNO(A): a 1. Encontre os inteiros x € Z* tais que: (a) a7 =1 (b) a =a (c) 4x? — 8a = —4 2. Use o Teorema da Inducao Finita para provar que: (a) 14+34+---4+(2n-1) =n? 2 1 (b) 1+84+---+n3 = a (c) n° + 2n é sempre divisfvel por 3. 3. Verifique (a) 9|(10” — 1) (b) 13](27° + 37°) (c) 14|(34"+? + 52n+1) 4. Seja a um numero impar. Mostre que a divisao de a? por 8 tem resto r = 1. 5. Calcule o m.d.c. e m.m.c. de: (a) -14e5 (b) 3380 e 4116 (c) 220 ¢ 221 6. Considere 0 grupo aditivo M2(R). Verifique que H = {( : , ) € M2(R);at+d= of é um subgrupo de M2(R). 7. Seja H um subgrupo de G tal que (G: H) = 2. Mostre que H é um subgrupo normal de G. 8. Seja (R,+,-) o corpo dos ntimeros reais e considere as seguintes operacdes em R : a®b=a+b4+1 a®b=a+b+ab a,beER. Mostre que (R, ®,@) é um corpo. 9. Considere 0 anel Zj2 : (a) Determine os elementos inversiveis de Z 2 e os divisores de zero desse anel; (b) Para cada elemento inversivel, ache o respectivo inverso e a tabela do grupo U(Zi2); (c) Para cada a@ 4 0 que é divisor de zero, ache b 4 0 tal que a - b= 0; (d) Indique todos os ideais desse anel. Bom trabalho!! 1