TESTEFEDERAL 1697840637589 ATIVIDADE2_IA 1 pdf

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CIˆENCIAS DA SA ´UDE DE ALAGOAS - UNCISAL INTRODUC¸ ˜AO `A ´ALGEBRA – 2023.2 NUP 1 – ATIVIDADE 2 PROFESSORA: Ingrid Ara´ujo Sampaio ALUNO(A): 1. Dados os polinˆomios sobre Z, f(x) = −2x + 4x2, g(x) = 5 + x + x2 + 5x3 e h(x) = 2 − 3x + x4. Calcule (a) (f + g)(x) (b) (g − h)(x) (c) (h − f)(x) 2. Dados os polinˆomios sobre Z, f(x) = 2 + 3x − 4x2, g(x) = 7 + x2 e h(x) = 2x − 3x2 + x3. Calcule (a) (fg)(x) (b) (gh)(x) (c) (hf)(x) 3. Em cada caso, encontre o quociente e o resto da divis˜ao euclidiana do polinˆomio g pelo polinˆomio f em A[x]. (a) g = 3x5 − 4x2 + 6x + 1, f = x3 + 3x + 2, A = Q. (b) g = 4x3 + 3x2 + 5x + 2, f = 5x2 + 4x + 3, A = Z12. (c) g = x12 − 1, f = x4 − x12 + 1, A = Z5. 4. Supondo o polinˆomio sobre R dado por f(x) = (c − a − 1) + (b − c + 5)x + (a − b − 2)x2 + (a − 1)x3 invers´ıvel, determine a, b, c e f −1. 5. Determine a, b e c de modo que a fun¸c˜ao f(x) = (a + b − 5)x2 + (b + c − 7)x + (a + c) seja identicamente nula. 6. Sendo A um anel de integridade infinito e sabendo que f, g ∈ A[X] s˜ao tais que ∂f 2 = 8, ∂(f ·g) = 7, determine (a) ∂(f − g) (b) ∂f 3 (c) ∂g3 (d) ∂(f + g)3 7. Efetue a divis˜ao de f(x) = x3 + ax + b por g(x) = 2x2 + 2x − 6. Qual ´e a condi¸c˜ao para que a divis˜ao seja exata? 8. Considere o polinˆomio f(x) = 4 + 8x2. Classifique como redut´ıvel ou irredut´ıvel. (a) Como elemento de Z[X] ? (b) Como elemento de R[X] ? (c) Como elemento de C[X] ? Bom trabalho!! 1