TESTETESTEINDEXAÇÃ0 1726351242330 Lista 2 - Series Numericas pdf

1.12 Lista 2 de Exercicios - Séries Numéricas. 1. Enumere todos os testes para verificacao de convergéncia e de divergéncia de séries. 2. Determine o valor de }7~-, 27” e de S027”. 3. Mostre que as desigualdades abaixo estao satisfeitas a partir de algum natural No, isto é, mostre que existe um natural No tal que, para todo n > No as desigualdades abaixo estao satisfeitas: a) In(n)<n_ 6b) In(n)< Vn ce) n? <2" d) Vn<n 4. Verifique quando as séries geométricas abaixo convergem ou divergem. E se convergirem qual o valor de sua soma. co 1 co (—1)" co gn+1 oo 3n 4 oo 100 a) 5)" b) So =O S- = 9) S- om °) S| 3(0, 999999)" £) S~ 1071°°(6/5)”. n=0 n=0 n=0 n=0 n=3 n=108 5. Observando-se que as séries abaixo sao geométricas verifique em qual intervalo da reta elas convergem e neste caso para qual funcao de x cada uma converge. oS n - n,n . n oS 1 a) Soa” b) So(-1)"2" ec) SO(w@ +1)” ad) SO on n=0 n=0 n=0 n=0 6. a) Seja 0, 66666666..... Podemos escrever tal ntimero como 1 1 1 61 6-0,11111111..... =6 | — + — + —+4+.-:-J}=— —. , (3 + 100 + 1000 + ) 10 » 10” Assim usando as propriedades da série geométrica verifique como representar 0, 66666666... na forma de fragao, ou melhor, de um numero racional. 7. Repita o exercicio anterior para a) 1, 13555555... b) 0,15151515... c) 1,0130130138...... 8. Mostre que as séries abaixo sao as mesmas: — n2+1 4 nr? + 6n + 10 50 9. Verifique o valor para o qual as séries abaixo convergem indicando o critério usado: “2 1 = 1 1 — 40n —_* jy -_) pb a a a) dR aR) ) Dn 2) Inns) ® > Gna IP Qn FIP “1 1 = 1 = 1 “ 2k+1 d ——-——=— e —___________ f —_________ ——____ Pier, J/nt+1 ) » (4k + 1)(4k + 5) ) DEER 8) > BEF Ip 10. Construa séries telescépicas de modo que sua correspondente sequéncia de somas par- ciais(ou reduzidas) S,,, seja dada pelas expresses abaixo: An 2n n? Sp, = —— 0b) S, = —— S,=—~ d)S,=2"'-1 a) n+1 ) dn +1 ) n+1 ) 11. Use fatos conhecidos para construir: a) Uma série de termos nao negativos que convirja para s = 7. b) Construa uma série telescépica que convirja para s = 7. 12. i) Use o teste da integral para verificar se as séries abaixo convergem ou divergem: (Inn)? 1 e” = 1 ——— } — —— d —— ., pE R fixo. DD unm DL Tee OL amp PER fro 13. Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério usado: n n+1 1 a 1/n” b ——)" ¢ ——_—— d ——— Sve oD ott are 1 ) “on e€ ————— => — h 1/(10" oeeg De OLE Davtuoy . n2+3n—-T7 . 3+cosn Jn+1— fn nin poms De DE DE n? —2n+5 n n n 14. Analise se as séries abaixo convergem ou nao indicando o teste usado: ~ arctgn Sn? oo nl n! a) »— nil b) »— Qn C) ina oe d) »— nn n=1 n=1 n=1 (n!)3 “ (2n + 2)! ay ~ 2n—1 Ga Nae Le V" WY vas) SO on, DvP . Inn (Inn)? (Inn)? noe aE oS ee yy Gr “(n+ 1)(n + 2) (n+ 3)! “ (2n)” = 1 m) d nl n) d 3inign d inti =? » (n+ 1)" 51 15. a) Verifique se as séries abaixo convergem: = nl = ny vn = ,imn a) S-(-1) Vi b) So(-1) (59? c) S(-1) TT n=1 n=0 n=1 ~ h 1 ~ rnivntil = h d) So(-y"*t ni +=) e) SO(-D TW Cd YEP [yn+ vn = va] n=1 n n=1 vn + n=0 b) Das séries convergentes acima determine um valor aproximado para as mesmas com erro inferior a 0, 01. 16. Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicional- mente convergente ou (AC) absolutamente convergente: a)() (1) ag b)() (-l" ae o() (Ys n n nm d)() 3-1)" a7 e)() U(-1)" she NO X(-D)" aa OXY A) (HL) sen ne NO d(-yer ene . n senn)2 n n2"(n ! n n43nr DOVEY TES HOA =e )()S(-yet a mM)" ae MOLD Vi? +n —n] 0)() SE p)() 2(-D a 17. Verificar se as séries }°°. ,(—1)"*"a,, com as a, dadas abaixo, sao divergentes, condi- cionalmente convergentes ou absolutamente convergentes. (Observe que neste exercicio nao é possivel aplicar o Critério da série alternada). Sugestao: pense na sequéncia das reduzidas. 1 1 b) 1 1 a) @n-1 = SS _ 0 22n = SS Qon—-1 = —— € Gon = = ee nF I-10" Mn F141 en NS grad © 27 Bana 1 1 d) 1 1 n-1 = n= 3p n-1 = C Gan = POMS on SOM Bn ont dn — 1 an $3 18. Encontre os valores de a para os quais }>~ , (S — sa) converge. 19. Mostre que se a, > 0 e S\ a, 6 convergente entao 5+ a? também é convergente. 20. Dé exemplo de uma série )> a, que seja convergente mas que )~ a? divirja. 21. Sejam 0 <a <b <1. Mostre que a sériea+b+a?+b?+a?+b? +--+ 6 convergente. 52 22. Mostre que se 5\a? e 5>b? convergem entao S\a,b, 6 absolutamente convergente. Sugestao: (a +b)? > 0. 23. Suponha que Soa, seja uma série convergente de termos nao negativos. Com base neste fato, responda: a) y — converge ou diverge? Justifique. b) s- — converge ou diverge? Justifique. ma +1 c) do, mayrrd converge ou diverge? Justifique. 24. Verifique se as afirmacoes abaixo sao verdadeiras ou falsas. Exiba exemplos quando forem falsas: (a) Toda série alternada é condicionalmente convergente. (b) Toda série absolutamente convergente é convergente. (c) Toda série convergente é absolutamente convergente. (d) Toda série alternada converge. (ec) Se oan e >) b, divergem entao 5) a(an) + >> B(bn) diverge para todo a, 6 € R. (f) Se 5° |a,,| diverge entao 5° a, é condicionalmnente convergente. g) Se a, — 1 entao s Gn Converge. n=1 h) Se a, — 0 entao > Gn converge. n=1 i) Se > Gn converge entao > t diverge. n=1 nai On 25. Use o critério da razao para determinar todos os valores de x para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas sao divergentes. aa Us co Vem d) 52a" e) Yarsent f) Y(-1)"SR 53 ? Capitulo II SERIES DE POTENCIAS II.1 Auta 11 - SERIES DE POTENCIAS E RAIO DE CON- VERGENCIA Falaremos agora de um tipo especifico de séries de funcgoes, as chamadas séries de poténcias. Veremos que este tipo de série, quando convergente num intervalo, descrevera funcgoes infi- nitamente derivaveis e o calculo de suas derivadas ou integral, sera realizado como se elas fossem polindmios. Definigao II.1.1. Seja (a,) uma sequéncia de ntimeros reais e xo real firo. Entao So an(a = x0)” = ay + ay(x — @9) + a2(a — 0)? + +++ + an(a — 2%)" + °° n=0 sera denominada uma série de poténcias de (x — x9) ou série de poténcias centrada em Xo. Note que se tomarmos x = 2p esta série sempre converge, ja que com excessao de sua primeira parcela as demais serao nulas. A questao que se coloca é se ela converge para outros valores de x. Caso ela convirja num intervalo ela ira representar uma fungao. Vejamos um caso especifico: Exemplo II.1. Considermos a série de poténcias centrada em xp = 0 ee ee ee ee n=0 54