TESTETERCEIRAINDEXAÇÃO PDF

An´alise Com Volumes de Controle Finitos: Conservac¸ ˜ao da Energia PME 3230 - Mecˆanica dos Fluidos I PME/EP/USP Prof. Antonio Luiz Pac´ıfico 2◦ Semestre de 2023 Conte´udo da Aula Introduc¸ ˜ao Equac¸ ˜ao da Conservac¸ ˜ao da Energia Fator de Correc¸ ˜ao da Energia Cin´etica Exerc´ıcios Introduc¸ ˜ao A Equac¸ ˜ao da Conservac¸ ˜ao da Energia ´e conhecida tamb´em como Primeira Lei da Termodinˆamica. Esta lei afirma que ”a energia n˜ao pode ser criada nem destru´ıda durante um processo; ela s´o pode ’mudar’ de forma.” A transferˆencia de qualquer quantidade (como massa, quantidade de movimento e energia) ´e reconhecida na fronteira (SC) `a medida que a quantidade cruza a fronteira. A energia de um sistema por der alterada apenas por dois mecanismos: transferˆencia de calor, Q, e trabalho, W. Conservagao da Energia para um Sistema Designando por E a quantidade total de energia de um sistema (medida em J), entao, e sera a energia especifica total do sistema (medida em J/kg). Em termos de taxas, pode-se escrever para um sistema: dE (S) = Qtot + Wiot (1) t sist onde Qhot é a taxa de transferéncia de calor total para o sistema; e Wiot € a poténcia (associada ao trabalho) total transferida ao sistema. Em termos de entradas (subscrito e) e saidas (subscrito s) essas duas quantidades podem ser escritas como: Qut = Qe _ Qs ; Wot = We _ Ws Conservac¸ ˜ao da Energia para um Sistema Calor ´e energia em trˆansito devido a uma diferenc¸a de temperatura. Trabalho ´e energia em trˆansito devido a qualquer outro potencial que n˜ao seja uma diferenc¸a de temperatura. Calor por unidade de tempo ´e chamado de de taxa de transferˆencia de calor. Trabalho por unidade de tempo ´e chamado de potˆencia. Quando um processo n˜ao apresenta transferˆencia de calor ele ´e chamado de adiab´atico. Maiores detalhes sobre estes conceito ser˜ao amplamente abordados no curso de Termodinˆamica. Neste curso admite-se que apenas energias potencial (ep), cin´etica (ec) e interna, ou t´ermica, (u) totalizam a energia de um sistema: e = ep + ec + u = g.z + V 2 2 + u (2) Trabalho Um sistema pode envolver diversas formas de trabalho durante um processo; neste curso admite-se que essas diferentes formas s˜ao: Wtot = Weixo + Wpressao + Wviscosidade + Woutros (3) onde: ▶ Weixo ≡ trabalho transmitido por um eixo girat´orio; ▶ Wpressao ≡ trabalho transmitido pelas forc¸as devidas `a press˜ao sobre a SC; ▶ Wviscosidade ≡ trabalho transmitido pelas componentes normais das tens˜oes de cisalhamento (associadas `as forc¸as viscosas); ▶ Woutros ≡ quaisquer outras formas como el´etrica, magn´etica, etc. A Eq. (3) pode ser escrita da mesma forma em termos de potˆencias. Poténcias Poténcia de Eixo: muitos sistemas de escoamento envolvem bombas, turbinas, ventiladores e compressores, cujos eixos atravessam a SC: Weixo = Teixo-O = 2.1.N. Teixo (4) onde Tejxo € 0 torque no eixo; @ é a velocidade angular; e n é a frequéncia de giro do eixo. Note que nna Eq. (4) é dado em Hz. Muitas maquinas fornecem esta frequéncia em ’rotagdes por minuto”, rpm. Nestes casos, deve-se efetuar primeiro a divisao desta rotagao por 60 para conversao de rpm para Hz. Poténcia Devida as Forgas de Pressao: a pressao sempre atua comprimindo a SC. Como o versor da area da SC aponta para fora, o produto escalar da forga devido a pressao e da area resulta negativo. Assim, acrescenta-se um sinal negativo a definigao desta poténcia para compensar, uma vez que, por convengao, toda poténcia exercida sobre o sistema é considerada positiva (contrario da convengao em Termodinamica): Wressao = VedA=-| © .p.WeaA pressao = — p.VedA=— —-p- Ved (5) SC sc p Poténcias Poténcias Devidas as Forgas Viscosas e Outros: as constribuigdes das componentes normais das tens6es de cisalhamento e de outras formas, neste curso, sao despreziveis. Assim, Wviscosidade = Woutros ~0 (6) Substituindo as Eqs. (4), (5) e (6) na Eq. (1), resulta: . . p i 4 dE Qtot + Wee — [ —:p:VedA= (5) (7) sc Pp at sist A este ponto convém introduzir o Teorema do Transporte de Reynolds para, a partir da formulacgao obtida para um sistema [Eq. (7)] se obter a variagao da energia dentro do VC mais 0 fluxo liquido de energia através da SC por escoamento de massa. Formulagao para VC da Conservacao da Energia Cosidera-se, agora, o Teorema do Transporte de Reynolds com N= Ee HN=e: dE 0 oo (S) = 5 | ep.av + | e.p.VedA dt / gis¢¢ Ot Jvc SC Substituindo a Eq. (7) na equagao acima, resulta: . . p so . O so 4 Qtot + Wee — [ —:p:-VedA= 5 | ep.av + | e.p.VedA (8) sc p ot Jvc Sc Recordando que V €a velocidade do fluido em relagao a um observador solidario a SC. Note que a formulagao do terceiro termo do lado esquerdo da Eq. (8) guarda semelhanga matematica do o segundo termo do lado direito. Assim, movendo-o para 0 lado direito, obtém-se: . . 0 p 4 4 Qtot + Weixo = < | ep.av+ | e+—]}.p.VedA (9) dt Jvc SC p Formulagao para VC da Conservacao da Energia O termo p/p = p.v é chamada trabalho de escoamento: trabalho necessario para empurrar o fluido para ou do VC. Introduzindo a Eq. (2): d p v2 a Qtot + Wei = = | ep.av+ | —+u+—-+g.z].p.VedA (10) dt Jvc sc \p 2 Introduzindo o conceito de vazao massica e recordando que o ultimo termo da Eq. (10) representa a soma de todas as entradas e saidas no VC, pode-se escrever: ; d * Pi v? Q, Weixo = < | e.p.dV m- {| —+u+—++g.z;}—- tot + Weixo at J ve p +h i (2+ i+ 2 + g.Z; Ne . v2 +¥ m: (PF 4+u4+L4g.z, (11) j=0 Pj 2 onde i=0,1,2,...ns sao as saidas e / = 0,1,2,...n¢ sao as entradas. Formulagao para VC da Conservacao da Energia O termo p/p +u-+ V?/2+ g.z pode ser escrito como h+ V?/2+g.z, onde h é conhecida como entalpia especifica do fluido (medida em J/kg): h=u+p/p=u+py. Para escoamentos em regime permanente e introduzindo a propriedade entalpia especifica, a Eq. (11) fica: ; ; ns v2 ne vi Qtot + Weixo = yim: (1+ > +921) _ yi m7: hj+ > + 9.2; (12) i=1 j= Recordando que, para condigao de regime permanente, os contadores dos somatérios devem iniciar em 1. A grande maioria dos problemas praticos para os quais se usa formulagao integral para volumes de controle envolvem apenas uma entrada e uma saida. Designando por 1 e 2 a entrada e a saida, respectivamente e dividindo a Eq. (12) por m (= my, = mo), resulta: Formulac¸ ˜ao para VC da Conservac¸ ˜ao da Energia qtot + weixo = h2 − h1 + V 2 2 − V 2 1 2 + g.(z2 − z1) (13) onde, qtot = ˙Qtot ˙m (14) e, wtot = ˙Wtot ˙m (15) Uma vez que h = u + p/ρ, pode-se rearranjar a Eq. (13) da seguinte maneira: weixo + p1 ρ1 + V 2 1 2 + g.z1 = p2 ρ2 + V 2 2 2 + g.z2 +(u2 − u1 − qtot) (16) O lado esquerdo da Eq. (16) representa a entrada de energia mecˆanica e os trˆes primeiros termos do lado direito direito representam a sa´ıda de energia mecˆanica. Conceito de Perda de Energia O termo (u2 − u1 − qtot) representa a quantidade de energia convertida em energia t´ermica. Para escoamentos sem irreversibilidades, tais como o atrito, a energia mecˆanica total deve ser conservada. Para estes casos u2 − u1 − qtot = 0 ⇒ qtot = u2 − u1. Qualquer aumento de (u2 − u1) acima de qtot se deve a convers˜ao irrevers´ıvel de energia mecˆanica em t´ermica. Deste modo, entende-se que: emec,perda = u2 − u1 − qtot (17) Seguindo este racioc´ınio, a Eq. (16) pode ser escrita como: emec,e = emec,s + emec,perda (18) Uma vez que weixo representa todos os trabalhos espec´ıficos de eixo presentes entre 1 e 2, pode-se escrver que weixo = weixo,e − weixo,s = wbomba − wturbina, wbomba e wturbina representam todas as bombas (entrada de energia no escoamento) e turbinas (sa´ıdas de energia do escoamento) presentes entre 1 e 2. Conceito de Perda de Energia Introduzindo estes conceitos na Eq. (16) pode-se escrever que: pi, Ve Po , Vs 444 9.21 + Wpomba = = + 2+ 9.22 + Wturbina + @mec,perda (19) Pi 2 po 2 Multiplicando a Eq. (19) por m obtém-se a equagao da energia mecanica na forma de taxas (watts): . ve . . v2 . . m- (& +— +92) + Weomba = M- (& +—2 +920) + Wexitturbina + Emec,perda Pi 2 po 2 (20) Na a Eq. (19) 0 termo €mec,perda fefere-se somente as prerdas relativas as irreversibilidades na tubulagao. Porém, recorda-se aqui que também ocorrem perdas nas bombas e turbinas. Assim, a energia total perdida pode ser escrita como: Eneraa, total — Emec,perda,bomba + Emec,perda,turbina + Emec,perda, tubulacdo (21) Conceito de Perda de Energia A Eq. (19) pode ser escrita na forma (unidade) de carga, metros, ao dividi-la por g: p1 γ1 + V 2 1 2.g + z1 + hbomba = p2 γ2 + V 2 2 2.g + z2 + hturbina + hL (22) onde, hbomba = wbomba g = ˙Wbomba ˙m.g (23) e, hturbina = wturbina g = ˙Wturbina ˙m.g (24) O termo hL ´e conhecido como perda de carga total da tubulac¸ ˜ao (entenda-se aqui perda de energia do fluido na tubulac¸ ˜ao). O subscrito L vem do inglˆes t´ecnico: loss (= perda). Conceito de Perda de Energia Nas Eqs. (22), (23) e (24), ˙Wbomba (ou wbomba) e ˙Wturbina (ou wturbina) devem ser entendidos como potˆencia (ou trabalho) realmente transferido da bomba ao fluido e potˆencia (ou trabalho) realmente recolhido pela turbina do fluido para realizac¸ ˜ao de trabalho ´util. Ou seja, s˜ao os valores dos trabalhos multiplicados pelas devidas eficiˆencias: hbomba = ηbomba. ˙Wbomba,eixo ˙m.g (25) hturbina = ˙Wturbina,eixo ηturbina. ˙m.g (26) Observe que, para escoamentos de fluidos incompress´ıveis sem perdas de carga (hL = 0), sem trabalho de eixo (hbomba = hturbina = 0) a equac¸ ˜ao da energia reduz-se `a equac¸ ˜ao de Bernoulli. A figura a seguir auxilia na compreens˜ao dos conceitos apresentados: Representac¸ ˜ao Gr´afica do Balanc¸o de Energia W . bomba Wturbina . W . turbina, teor Wbomba, teor . Emec, perda, bomba . Emec, perda, turbina . Emec, perda, tubulação . V 2 1 p1 ρ + 2 + g.z 1 m . . 1 m . . p2 ρ + 2 V 2 + g.z 2 2 2 Emec, perda, tubulação . m.g . hL = OBS: na entrada mecânica do fluido mecânica do fluido 1 2 SC VC Potência Potência na saída Fator de Correcao da Energia Cinética Define-se V como sendo o valor para 0 qual a multiplicagao m.V.A, resulte na vazao massica real do escoamento. Entretanto, para a parcela da energia cinética na Equagao da Conservagao da Energia, V2 /2, nao se pode simplesmente usar Vv" /2, uma vez que 0 quadrado de uma soma nao é igual a soma dos quadrados dos seus termos. Este erro é corrigido pela substituigao dos termos v2 /2 por a.V*/2, onde 6 o fator de corregao da energia cinética. Para um fluido incompressivel, pode-se fazer o seguinte desenvolvimento: . 1. . 1» 1 3 E= [5 V ()-din= [ov (r)-p-V(r)-dA= 5: | V3(r)-dA A2 A2 2 A = 1 . —2 1 —3 Eog=-=-m-V=-—-p-A-V o= 5 5 p E, 1 Vv(r)]3 a= = 8. [|] -dA (27) E, A Jal Vv Fator de Correcao da Energia Cinética Introduzindo o fator de correcao da energia cinética, as duas formas mais utilizadas da Equagao da Conservagao da Energia ficam: —2 72 . V . . V in- [4-49.21 |) + Whomra = tm: ( 2 +09-—2+9.20) + P1 2 P2 2 + Wrurbina + Emec.perda (28) —2 72 V V. Pr +04-—t+2z + Apomba = Pe + Oy - = + 22+ Aturbinat A, (29) v1 2.9 Ye 2.9 Aplicando o conceito de fator de corregao da energia cinética aos perfis de velocidade dos escoamentos laminares e turbulentos: Escoamento Laminar: r\2 — WY V(r) = Ve: 1-(4) =>V=—..0=2 (=v. 1-(F)']+¥=4 Fator de Correcao da Energia Cinética Escoamento Turbulento: no 2.V, 1+ n)3.(2+n)? V(r) = Vo: (1 -=) => ya 2M gO F(A +n) R (1 +n).(2+n) 4.(1+3.n).(2+3.n) | a | 1,106 | 1,077 | 1,058 | 1,046 | 1,037 Como os valores de a ~ 1, na pratica, para escoamento turbulento, costuma-se desprezar esta correcao. Porém, quando ha necessidade, geralmente adota-se & = 1,05, a menos que se diga algo especifico. Exerc´ıcio de Aula 1 Enunciado: Um l´ıquido incompress´ıvel escoa no tubo mostrado na figura abaixo. Admitindo que o regime de escoamento ´e o permanente, determine o sentido do escoamento e a perda de carga no escoamento entre as sec¸ ˜oes onde est˜ao instalados os manˆometros. [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 5.91] 6 m 1 m 3 m 1,5 m 0,75 m Exercicio de Aula 2 Enunciado: A vazao da bomba instalada no caminhao mostrado na figura abaixo é de 4,25 x 10-? m/s e 0 jato d’agua lancado pelo canhao deve alcan¢ar o plano que dista 18,3 m do hidrante. A pressao na secao de alimentagao da mangueira, que apresenta diametro igual a 102 mm, é 69 kPa. Admitindo que a perda de carga no escoamento é pequena, determine a poténcia transferida a agua pela bomba. [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exercicio 5.107] 18,3mM HS 102 mm Munson, 4a. Ed, Exerc. 5.107 (modificado) Exerc´ıcio de Aula 3 Enunciado: A vaz˜ao de ar de um pequeno ventilador ´e igual a 6,53 kg/h. O diˆametro do tubo de alimentac¸ ˜ao do ventilador ´e de 63,5 mm e o escoamento de ar neste tubo ´e laminar (perfil de velocidade parab´olico e coeficiente de energia cin´etica igual a 2). O diˆametro do tubo de descarga do ventilador ´e 25,4 mm e o escoamento de ar neste tubo ´e turbulento (perfil de velocidade quase uniforme e coeficiente de energia cin´etica igual a 1,08). A potˆencia no eixo do ventilador ´e 0,18 W e o aumento de press˜ao est´atica provocado pelo ventilador ´e igual a 103 Pa. Calcule a perda no escoamento atrav´es do ventilador admitindo (a) que os perfis de velocidade s˜ao uniformes nas sec¸ ˜oes de alimentac¸ ˜ao e descarga; e (b) que os perfis de velocidade s˜ao aqueles fornecidos na formulac¸ ˜ao do problema. [(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004), exerc´ıcio 5.125] Exerc´ıcio de Aula 4 Enunciado: Considere a turbina extraindo energia atrav´es de um conduto forc¸ado em uma barragem, como na figura abaixo. Para escoamento turbulento em dutos, a perda de carga por atrito ´e aproximadamente hL = C.Q2, onde a constante C depende das dimens˜oes do conduto forc¸ado e das propriedades da ´agua. Mostre que, para uma dada geometria de conduto forc¸ado e vaz˜ao vari´avel, Q, a m´axima potˆencia poss´ıvel da turbina nesse caso ´e ˙Wmax = 2.ρ.g.H.Q/3 e ocorre quando a vaz˜ao ´e Q = [H/(3.C)]1/2. [(WHITE, 2002), exerc´ıcio 3.132] turbina H Exerc´ıcio de Aula 5 Enunciado: O tanque isolado da figura abaixo deve ser enchido a partir de um suprimento de ar a alta press˜ao. As condic¸ ˜oes iniciais no tanque s˜ao Ti = 20 ◦C e pi = 200 kPa. Quando a v´alvula ´e aberta, o fluxo de massa inicial para dentro do tanque ´e de 0,013 kg/s. Considerando um g´as perfeito, calcule a taxa inicial de incremento de temperatura do ar no tanque. [(WHITE, 2002), exerc´ıcio 3.143] Tanque 200 L válvula Ar = 20 C o T1 p1 =1500 kPa Exerc´ıcio de Aula 6 Enunciado: A bomba da figura abaixo cria um jato de ´agua a 20 ◦C, orientado para atingir uma distˆancia horizontal m´axima. As perdas por atrito do sistema s˜ao de 6,5 m. O jato pode ser aproximado pela trajet´oria de part´ıculas sem atrito. Que potˆencia a bomba deve entregar? [(WHITE, 2002), exerc´ıcio 3.144] 15 m 10 cm bomba 5 cm 25 m 2 m jato Exerc´ıcio de Aula 7 Enunciado: ´Agua num tanque de grandes dimens˜oes est´a sob a press˜ao relativa de 0,5 kgf/cm2 na superf´ıcie livre e ´e bombeada atrav´es de um tubo e um bocal como indicado na figura. Sabendo-se que a perda total na tubulac¸ ˜ao ´e de 6,5 CV e que o rendimento da bomba ´e de 70%, qual a potˆencia a ser fornecida `a bomba pelo motor a ela acoplado? Despreza-se a resistˆencia do ar. [Apostila, exerc´ıcio 5.2] Exerc´ıcio de Aula 8 Enunciado: O sistema de propuls˜ao de um barco consta de uma bomba hidr´aulica que recolhe ´agua na proa atrav´es de 2 tubos de 2” de diˆametro e lanc¸a na popa atrav´es de um tubo de 2”. Calcular em CV a potˆencia transmitida pela bomba ao fluido. Sabe-se que a vaz˜ao veiculada ´e 50 L/s e que a potˆencia das forc¸as de atrito ao longo de todos os tubos ´e 0,5 CV. [Apostila, exerc´ıcio 5.4] Referˆencias Bibliogr´aficas MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecˆanica dos Fluidos. 4. ed. S˜ao Paulo: Bl¨ucher, 2004. ISBN 978-85-212-0343-8. WHITE, F. M. Mecˆanica dos Fluidos. 4. ed. Rio de Janeiro: McGraw Hill, 2002. ISBN 978-85-868-0424-3.