TESTEFEDERAL 1697208219593 DOC-20231013-WA0006 pdf

2 (b) g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} x \to |x - 2| A Função g não é injetora. Pois, tomando x = 6 e x = -2, temos g(6) = |6 - 2| = |4| = 4 e g(-2) = |-2 - 2| = |-4| = 4 Logo, g(6) = g(-2) Além disso, g não é sobrejetora. Pois, o módulo de um número real é \geq 0. Logo, por exemplo, -2 \in \mathbb{R}, mas não pertence à imagem de g. A imagem de g é zero junto com os reais positivos. 4 Seja H = \left\{ \left( \begin{array}{cc} \cos a & \sin a \\ -\sin a & \cos a \end{array} \right), a \in \mathbb{R} \right\} Para mostrar que H é um subgrupo de G\text{l}_{2}(\mathbb{R}), Precisamos mostrar que, dados X, Y \in H então XY^{-1} \in H. Sejam X = \left( \begin{array}{cc} \cos a & \sin a \\ -\sin a & \cos a \end{array} \right) \in H eee Y = \left( \begin{array}{cc} \cos b & \sin b \\ -\sin b & \cos b \end{array} \right) \in H Lembrando: inversa de uma matriz 2x2 A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right). Então, A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) Temos, Y^{-1} = \left( \begin{array}{cc} \cos b & -\sin b \\ \sin b & \cos b \end{array} \right) XY^{-1} = \left( \begin{array}{cc} \cos a & \sin a \\ -\sin a & \cos a \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos b & -\sin b \\ \sin b & \cos b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos a \cos b + \sin a \sin b & \cos a (-\sin b ) + \sin a \cos b \\ -\sin a \cos b + \cos a \sin b & -\sin a (-\sin b) + \cos a \cos b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos (a-b) & \sin (a-b) \\ -\sin (a-b) & \cos (a-b) \end{array} \right) \in H, a-b \in \mathbb{R} Portanto, H é um subgrupo de G\text{l}_{2}(\mathbb{R})