TESTEINAUGUCARACAO 1726941056579 Prova 1-2017 pdf

1º. EXERCÍCIO ESCOLAR 01.09.2017 Utilize: c = 3,0x10⁸ m/s; h = 6,63x10⁻³⁴ Js; m₀ = 9,1x10⁻³¹ kg; mₚ = 1,840mᵥ; 1 eV = 1,6x10⁻¹⁹J. Laplaciano em coordenadas cilíndricas: ∇²f = (1/r) ∂/∂r (r ∂f/∂r) + (1/r²) ∂²f/∂φ² + ∂²f/∂z² 1ª. Questão (3,0 pontos) – Decaimento radiativo do átomo de Hidrogênio Sabendo que as energias permitidas para o elétron do átomo de Hidrogênio são dadas (em eV) por Eᵢ = -13,6/n², n ∈ ℤ⁺; a) (1,0) obtenha a expressão para o cálculo das variações de energia sofridas pelo elétron que decai para o terceiro nível permitido. Por que esses decaimentos sempre implicam na emissão de fótons? b) (2,0) calcule os 4 primeiros comprimentos de onda dos fótons emitidos. São fótons visíveis? 2ª. Questão (3,0 pontos) – O átomo de Bohr Um dos primeiros modelos baseados na hipótese de que o elétron também apresenta comportamento de onda estacionária, quando “aprisionado” na região da atração eletrostática do núcleo, foi proposto por Niels Bohr em 1913. No seu modelo o elétron descreveria uma trajetória no plano similar à dos planetas no nosso sistema solar, devido à atuação do Potencial Coulombiano do núcleo atômico. Admita que o núcleo esteja disposto na origem e que a trajetória do elétron está contida no plano xy (i.e., não faz parte do modo que uma função de onda possa ser expressa no sistema de coordenadas cilíndricas. a) (0,5) Escreva a Equação de Schrödinger em presença do Potencial Coulombiano, a ser satisfeita por Ψ(r, φ, z, t) representativa de uma função de estado do elétron em um sistema circular. Comente. b) (0,5) Mostre que uma Solução Geral da equação pode ser promovida Ψ(r, φ, z, t) = ψ(r, φ, z) ϕ(t) em que ϕ seja dependente exclusivamente do tempo. Explique o porquê da expressão para ϕ(t). c) (0,5) Escreva a Equação de Schrödinger Independente de Tempo a ser satisfeita por Ψ(r, φ, z). d) (1,0) Admitindo a separação de variáveis pode-se expressar ψ(r, φ, z) = R(r)Φ(φ)Θ(z), utilizando mᵹ como a constante de separação, e a E.S.I.T se transforma em duas equações diferenciais ordinárias (respectivamente, em R(r) e Φ(φ)Θ(z)). Expresse as E.D.O.s correspondentes. e) (0,5) Mostre por que a constante mᵹ só pode assumir valores inteiros. 3ª. Questão (4,0 pontos) – Confinamento quântico Seja uma partícula confinada no interior de um poço quântico unidimensional de paredes de altura infinita e largura L. Em termos de mecânica ondulatória ela é representada por uma função de onda do tipo ψ(z, t) = Aₗ sin kₙ x e^(-iEₙt/ℏ) para n = 1, 2, 3,... sendo cada Aₙ uma constante complexa, cada Eₙ um nível de energia permitido, e cada k₂ = nπ/L um valor permitido para a constante de propagação da sua “onda de matéria”. No interior do poço a partícula está submetida a uma energia potencial que é U(x) = 5 eV. a) (1,5) Aplique a função de onda dada aos operadores quânticos pertinentes para provar que as energias totais e cinéticas da partícula são dadas por Eₙ = k²ₙℏ²/2mₚL²n², respectivamente. Expresse Eₙ em termos das constantes do problema e do número quântico “n”. b) (1,5) Uma partícula com massa mₚ e com carga +e ocupa o estado n = 2 da partícula confinada é um próton, calcule as energias dos seus 3 primeiros estados permitidos. c) (0,5) Prove que apenas o fundamental dentre os níveis de energia permitidos subsequentes admite uma largura L do poço diminuta. d) (0,5) Expresse a probabilidade posição P(x) do próton que ocupa o estado n = 2 do poço quântico e discuta sobre os seus resultados quânticos. Quais os pontos “x” e “x’” com maior probabilidade de encontrá-lo? b) Psi (r, phi, z, t) = psi (r, phi, z) T(t) para T(t)=? (0,5 pontos) Note que psi ≠ psi (por quê?) Substituindo na equação anterior: -h^2/2m0 [1/psi ∂/∂r (r ∂psi/∂r) + 1/r ∂^2psi/∂phi^2 + ∂^2psi/∂z^2 ] T + psi (r, phi, z)∂^2T/∂t^2 = = i h psi dT/dt Dividindo tudo por psi T: -h^2/2m0 [1/psi ∂/∂r (r ∂psi/∂r) + 1/r ∂^2psi/∂phi^2 + ∂^2psi/∂z^2 ] - 2e^2/(pi epsilon r) = ih/psi dT/dt = E (constante) dT/dt = -iE/h T (*) , T(t) = e^-iEt/h - h^2/2m0 [1/psi ∂/∂r (r ∂psi/∂r) + 1/r ∂^2psi/∂phi^2 + ∂^2psi/∂z^2 ] = (E + 2e^2/(pi epsilon r) )psi(**) o ressalto, sempre que 'U' é um potencial estático tem-se T(t)=e^-iEt/h ---------------------- c) E. S. I. T. (0,5 pontos) A equação (**) do item anterior é a equação de Schrödinger independente do tempo - E. S. I. T. - h^2/2m0 [1/psi ∂/∂r (r ∂psi/∂r) + 1/r ∂^2psi/∂phi^2 + ∂^2psi/∂z^2 ] = K psi , onde K = E - U e a energia cinética do elétron do H. d) psi(r, phi, z) = R(r) Φ (phi) Z(z) => Z(z) -> 0 R(phi, z=0) (1,0 pontos) - 2 m0 d^2z/dz^2 = 0 => ez = 0, pois psi(r, phi, z = 0) Substituindo a "fórmula produto": - h^2/2m0 [1/R d/dr (r dR/dr)] + 1/r^2/R ∂/∂phi (∂Φ/∂phi) = K R F + 2e^2/(pi epsilon r) psi(*)