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304 Cálculo Funções de mais de duas variáveis As definições de limite e continuidade para funções de duas variáveis e as conclusões sobre limites e continuidade para somas, produtos, quocientes, potências e composições estendem-se a funções de três variáveis ou mais. Funções como ln (x + y + z) e y sen z são contínuas nos seus domínios, e limites como lim p→(1,0,-1) e xyz / z2 + cos √ xy (-1) e 1 / cos θ onde P indica o ponto (x, y, z), podem ser encontrados por meio de substituição direta. Valores extremos de funções contínuas em conjuntos fechados e limitados Vimos que uma função de uma variável que é contínua em um intervalo fechado e limitado [a, b] assume um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto pelo menos uma vez em [a, b]. O mesmo vale para uma função z = f(x, y) que é contínua em um conjunto R fechado em R2 (como um segmento de reta, um disco ou um triângulo) se a função z tiver um valor máximo absoluto e um valor mínimo R em algum ponto R. Teoremas semelhantes a estes e outros teoremas desta seção são verdadeiros para funções de três ou mais variáveis. Uma função contínua w = f(x, y, z), por exemplo, deve assumir valores máximo e mínimo absolutos em qualquer conjunto fechado e limitado (esfera sólida ou cubo, casca esférica, sólido retangular) no qual é definida. Aprenderemos como encontrar esses valores extremos na Seção 14.7, mas primeiro precisamos conhecer as derivadas em dimensões maiores. Esse é o assunto da próxima seção. Exercícios 14.2 Limites com duas variáveis Encontre os limites nos exercícios 1-12. 1. lim (x,y)→(0,0) 3x2 - y2 + 5 / x2 + y2 + 2 2. lim (x,y)→(4,3) x / √ x2 + y2 - 1 3. lim (x,y)→(0,0) xy / √ x3 + y3 4. lim (x,y)→(3,4) x2 y / x + y 5. lim (x,y)→(0,π/4) sec tg y 6. lim (x,y)→(0,0) cos x + y2 / 1 + y2 + y 7. lim (x,y)→(0,1/2) e-x sen y 8. lim (x,y)→(1,0) ln|1 + x2 y2| 9. lim (x,y)→(1,0) e-x sen x 10. lim (x,y)→(1,0) cos √|xy| - 1 11. lim (x,y)→(1,1) x sen y / x2 + 1 12. lim (x,y)→(0,0) cosy + 1 / y - sen x Limites de quocientes Encontre os limites nos exercícios 13-20 reescrevendo primeiro as frações. 305 Capítulo 14 Derivadas parciais 13. lim (x,y)→(1,1) x2 - 2xy + y2 14. lim (x,y)→(1,1) x2 - y3 / x - y 15. lim (x,y)→(1,1) xy - y2 + 2 / x2 + y 16. lim (x,y)→(4,-3) y + 4 / xy + 4x2 - 4x 17. lim (x,y)→(0,0) x - y + 2√x - 2√y / √x - √y 18. lim (x,y)→(2,0) x - 4 / 2x - y - 4 19. lim (x,y)→(2,4) √x - √y + 1 / x - y - 1 20. lim (x,y)→(1,4) √x - √y + 1 / x - y - 1 Limites com três variáveis Encontre os limites nos exercícios 21-26. 21. lim (x,y,z)→(1,1,2) 1 + 1 / x2y 22. lim (x,y,z)→(2,4,0) 2xy + yz 23. lim (x,y,z)→(-4,2,1/2) tg-1xyz 24. lim (x,y,z)→(0,0,0) sen(x + 2x) + sec 2y 25. lim (x,y,z)→(π,-π,0) ze-z * cos2x 26. lim (x,y,z)→(0,-2,0) ln√x2y + z2 Continuidade no plano Em que pontos (x, y) no plano as funções nos exercícios 27-30 são contínuas? 27. (a) f(x, y) = sen(x + y) (b) f(x, y) = ln(x2 + y2) 28. (a) g(x, y) = x-1 / x - y (b) g(x, y) = x + y / x + 1 29. (a) f(x, y) = sen xy (b) f(x, y) = xy / 2 + cos x 30. (a) g(x, y) = x2 - 3x + y2 (b) g(x, y) = 1 / x2 - y2 Continuidade no espaço Em que pontos (x, y, z) no espaço as funções nos exercícios 31-34 são contínuas? 31. (a) f(x, y, z) = x2 + y2 - 2z2 (b) f(x, y, z) = x3 + y2 32. (a) f(x, y, z) = lnx2y (b) f(x, y, z) = e-xy * cos z 33. (a) H(x, y, z) = xy sen 1 (b) H(x, y, z) = √x2 + y2 + z2 34. (a) H(x, y, z) = 1 / |x| + |y| + |z| (b) H(x, y, z) = 1 / |xy| |yz| + |zx| Sem limite em um ponto Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios 35-42 não têm limite quando (x, y) → (0, 0) 35. f(x, y) = -x / √x2 + y2 36. f(x, y) = x4 / x2 + y2 37. f(x, y) = x + y + z 38. H(x, y, z) = 1 / x + y 39. g(x, y, z) = (x - z) / y 40. g(x, y, z) = x / y + z 41. f(x, y) = x2 + y / y 42. H(x, y, x) = x2 / x2 - y2 Teoria e exemplos 43. Se lim(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = L, deve ser definida em (x0, y0)? Justifique a sua resposta. 44. Se f(x0,y0) = 3, o que você pode dizer sobre lim (x,y)→(x0,y0) {x, y} f(x, y) se f for contínua em (x0, y0)? E se não for contínua em(x0, y0)? Justifique a sua resposta. O teorema do confronto para funções de duas variáveis afirma que, se g(x, y) = f(x, y) para todo (x, y) ≠(x0, y0) em um disco com centro em (x0, y0) e se g e h tiverem o mesmo limite finito L quando (x, y) → (x0, y0), então lim (x,y)→(x0,y0) h(x, y) = L Use esse resultado para confirmar as suas respostas nos exercícios 45-48.