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GET00188 - Fundamentos de Matemática para Estatística 2ª Lista de exercícios - Parte 2 Prof. Jaime Utria Exercícios para ser entregues: Todos as questões, com exceção das questões 6,9,12. 1. Mostre que os dois conjuntos dados a seguir tem a mesma cardinalidade exibindo uma bijeção entre eles. Prove em cada caso que de fato a função apresentada é uma bijeção. (a) {x ∈ R : 20 ≤ x ≤ 25} e {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 1}. (b) Z e {x ∈ R : cos(x) = 1}. (c) {0,1} × N0 e N0, em que N0 = N ∪ {0}. (e) P(N) e P(Z). 2. Prove que X = {ln(n) : n ∈ N} é enumerável. 3. Sejam X e Y conjuntos não necessariamente finitos. Mostre que se |A\B| = |B\A|, então |A| = |B|. 4. Para x ∈ R, defina a função teto de x por ⌈x⌉ = min{z ∈ Z, z ≥ x} e a função piso de x por ⌊x⌋ = max{z ∈ Z : z ≤ x}. Mostre que se a,b ∈ Z positivos, então ⌈a/b⌉ = ⌊(a − 1)/b⌋ + 1. 5. Se a | b c, e mdc(a,b) = 1, então a | c. 6. Sejam a,b,c, n ∈ Z, n ≥ 2. Mostre que se ac ≡ bc( mod n) e mdc(c,n) = 1, então a ≡ b( mod n). Diga se o resultado continua valendo se relaxamos a hipótese de mdc(c,n) = 1. 7. Sejam a,b ∈ Z não simultaneamente nulos e seja d = mdc(a,b). Se e for um divisor comum de a e b, então e | d. 8. Mostre que se a e b são primos entre si, então ab e a + b também são primos entre si. 9. Determine quais dos seguinte números racionais são racionais decimais e escreva cada um deles em sua forma decimal: 1 (a) 1 256 (b) 1 4375 (c) −13 1040 10. Vimos que X = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 < 2} não possui supremo em Q. Na prova consideramos o caso em que s2 = (sup(X))2 < 2 e chegamos numa contradição. Mostre que quando s2 > 2 também chegamos numa contradição. 11. Dados dois subconjuntos de números reais X ⊆ R e Y ⊆ R tais que x ≤ y para quaisquer x ∈ X, y ∈ Y . Então existem sup(X) e inf(Y ). Além disso, mostre que sup(X) ≤ inf(Y ). 12. Vimos que Q não é completo, mostre, não entanto, que Q é arquimediado, ou seja, prove que se x > 0(∈ Q) e y ∈ Q qualquer, então existe n ∈ N, tal que nx > y. 13. Seja X = { n n+1 : n ∈ N} = {1 2, 2 3, . . .}. Mostre que inf(X) = 1/2. 14. Mostre que R \ Q é denso em R, ou seja, que dados dos números reais quaisquer, existe um número irracional entre eles. 2