TESTEVACA 1718133787154 Terceira_Avaliacao_Algebra_Superior-4 pdf

Universidade Estadual do Piaui - UESPI Disciplina: Algebra Superior Cédigo: CCNMA74 Professor Dr.: Alessandro Wilk Silva Almeida Semestre: 2023.2 Curso: Licenciatura em Matematica 3? Avaliagao Leia as InstrucgG6es: e A avaliacao é individual. e Todas as folhas de respostas devem conter a assinatura do discente e sua matricula. e Cada questao vale dois pontos. e Respostas entre duas ou mais avaliacdes iguais serao consideradas nulas. e As respostas podem ser feitas utilizando caneta (preta ou azul) ou lapis. e DATA DA ENTREGA : 1. Dia : 12/06/2024 ; 2. Horario: 08:00 as 09:00 horas ; 3. Local: Sala 03, setor 2 do Centro de Ciéncias da Natureza - CCN 1. Seja f : Z — Z uma fungao tal que f(x + y) = f(x) + f(y) Va, yeZe f(xy) = f(x).fly) Va, y€Z. Prove que, ou f = Iz é a funcao identidade de Z, ou f = 0 é a funcao constante zero. 2. Seja f : Q — Q uma fungao tal que f(x + y) = f(x) + fly) Va, yeQe f(xy) = f(x).fly) Va, y€Q. Prove que, ou f = Ig é a fungao identidade de Q, ou f = 0 é a fungao constante zero. 3. Seja p um numero primo > 2 e seja A= {" EQ; mdc{p,n} = i} n Mostre que A é um anel com as operagoes usuais de fragao. 4. Prove que se (A,+,.) 6 um anel qualquer entao sao validas as seguintes propriedades quaisquer que sejam x,y,z EA: (a) —(v-y) = (—2).y = x.(—y); (b) (—2).(-y) = wy ; (c) a(y-—z)=xuy-2.2; (d) (-1).(-1) =1. 5. Prove que se (A, +, .) ´e um anel qualquer. Vamos definir potˆencia de um elemento x ∈ A (usando a associativa do produto) do seguinte modo: x1 = x, x2 = x.x, · · · , xn = xn−1.x n ≥ 2 Prove que as seguintes propriedades ∀ m, n ∈ N − {0}. (a) (x.y)m = xm.ym se x.y = y.x (b) (xm)n = xm.n 2