TESTEFEDERAL 1695915806579 Gabarito da prova pdf

Gabarito da Prova terça-feira, 26 de outubro de 2021 08:49 CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLOGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Profª Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I – 2021.1 Nome: Gabarito 1) Dados os pontos A(4,4,5,6), B(4,4,4,5), C(3,5,5,5), verifique se ABC é um triângulo. Caso seja, calcule a sua área. A,B,e C são colineares ? AB = (0,-1,-1) AC = (-1,0,-1) \rightarrow nao\, ABC é um triângulo Area = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (1,1,-1) \rightarrow Area = \frac{√3}{2} u.a. Resp: \frac{√3}{2} u. a. 2) Determine um vetor simultaneamente ortogonal a \vec{u} = (1,-1,2) e \vec{v} = (3,-2,1) e que tenha módulo igual a 4. \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \vec{w} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (3,5,1) \vec{w} '^2 = \lambda \vec{w} \cdot \vec{w} = \lambda \cdot \vec{w}' = \lambda (3,5,1) | \vec{w} '| = \lambda \cdot \sqrt{35} \rightarrow 4 \cdot \sqrt{35} = 4 \rightarrow \lambda = \frac{4 \cdot \sqrt{35}}{35} Resp: \vec{w} ' = \frac{4\cdot \sqrt{35}}{35} .(3,5,1) 3) Para que valor de k os pontos A (0,-1,2), B(-1,2,3), C (k,4,-1,-2) e D (4,-8,-1) pertencem a um mesmo plano ? \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} \rightarrow produto misto = 0 \vec{AB} = (-1,3,1) \vec{AC} = (k,4,-1,-2) \vec{AD} = (4,-8,-1) \begin{vmatrix} -1 & 3 & 1 \\ k & 4 & -2 \\ 4 & -8 & -1 \end{vmatrix} = 0 \rightarrow 4-24-8k-6+4k+3k=0 -5k-20=0 \rightarrow k=-4 Resp: k=-4 4) Determine as equações paramétricas da reta normal ao plano de equação 2x-y+\sqrt{2}z+3=0 e que passa pelo ponto A=(1,2,3). reta n = (1+2t,2-t,3+\sqrt{2}t),t \in ℝ \vec{n}=(2,-1,\sqrt{2}) Resp: (1+2t,2-t,3+\sqrt{2}t),t \in ℝ 5) Dê as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A (2,-1,-3) e é paralela à reta \frac{2x-3}{5} = \frac{2-y}{3} = \frac{z-4}{5} 5t = 3 \rightarrow x = \frac{5}{2}t + \frac{3}{2} -y = 2t-2 \rightarrow y = -2t+2 z = 3t+4 \vec{j} = (5/2,-2,3) Resp: x = (2+5/2t, -1-2t, -3+3t), t \in ℝ 6) O triângulo que possui como lados os vetores u = (1,-1,2), v = (0,-1,2) e u-v é acutângulo, retângulo ou obtusângulo? Justifique a sua resposta com os cálculos necessários. \vec{u} - \vec{v} = (1,0,0) cos \theta_1 = \frac{0+1+4}{\sqrt{6}. \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{30}} = \sqrt{30}/6 \rightarrow \Theta_1 é agudo cos \theta_2 = 0 \rightarrow (\vec{u} - \vec{v}) \perp \vec{v} \rightarrow \Delta \text{ é retângulo} Resp: 7) Sabendo que os vetores u = (2,-1,3), v = (-1,1,-4) e w = (m+1, m, -1) determinam um paralelepípedo de volume 42, determine o valor de m. \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & -4 \\ m+1 & m & -1 \end{vmatrix} = +42 \rightarrow -2+4m+4-3m-3+8m+1=42 6m=42 \rightarrow m=7 Resp: m=7 Resp.: \frac{3}{7} 8) Determine o tamanho da projeção do vetor (1,2,3) sobre a reta r = (t-3, 2t + 5, 1 - t) \cos \theta = \frac{1 + 4 - 3}{\sqrt{14.\sqrt{6}}} . \frac{-2}{2\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{21} \vec{n} = (1, 2, -1) proj = \sqrt{14} . \frac{\sqrt{21}}{21} = \frac{7 + \sqrt{6}}{21} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} Resp.: \frac{\sqrt{6}}{3}