TESTEFEDERAL 1700405327881 Trabalho 1 pdf

INSTITUTO FEDERAL DE MATO GROSSO Campus Campo Novo do Parecis Professor(a): Priscila Friedemann Cardoso (priscila.cardoso@ifmt.edu.br) Curso: Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Discente: Turma: Trabalho 1 1. Seja G um grupo de ordem pn, em que p é primo e n > 1. Mostre que a ordem de um elemento qualquer de G é uma potência de p. (Ver Tópico 3 no AVA.) 2. Determine todas as classes laterais de 4Z no grupo aditivo Z. 3. Dado um isomorsmo de grupos f : G → J, denotamos por f −1 : J → G a função inversa de f. Isto é, f(x) = y se, e somente se, f −1(y) = x. Além disso, dado um conjunto A ⊂ J, f −1(A) = {x ∈ G; f(x) ∈ S}. Prove que: (a) Se f : G → J é um isomorsmo, então f −1 : J → G é um isomorsmo também. (b) Se f : G → J é um isomorsmo e S é um subgrupo de J, então f −1(S) é um subgrupo de G e N(f) ⊂ f −1(S). 4. Seja G um grupo, N um subgrupo normal e H um subgrupo de G. Mostre que H ∩ N é normal em H. (Lembre que H ∩ N = {x; x ∈ H e x ∈ N}) 5. Seja N um subgrupo de G tal que (G : N) = 2. Mostre que N é normal em G. 6. Seja G um grupo multiplicativo. Mostre que H = {x ∈ G; xa = ax, ∀a ∈ G} é um subgrupo normal de G. 7. Utilizando o Teorema do Homomorsmo, mostre que Z 5Z é isomorfo a Z5. ©Priscila Friedemann Cardoso Pag. 1 de 1