TESTEINAUGUCARACAO 1726941056510 Prova 1-2015 pdf

3ª. Questão (3,0) – Princípios da Mecânica Quântica Uma bola de futebol, que tem uma massa de ~ 0,8 kg, se move a 25 m/s quando chutada vigorosamente. Um automóvel modelo esportivo com 1,2 tonelada viaja a 150 km/h numa estrada sem buracos. Um elétron num tubo de lâmpada fluorescente pode alcançar uma velocidade da ordem de 10⁵ cm/s antes de colidir com uma molécula do gás confinado. Considerando apenas a energia cinética dessas “partículas”, qual seria o comprimento de onda de De Broglie e a frequência de Plank de cada uma delas ? Alguma delas teria comportamento ondulatório observável através de instrumentos ? Qual ? Explique. Boas festas ! Feliz Ano Novo ! 1ª PROVA - 2015 1. ONDAS ELETROMAGNÉTICAS A manipulação das equações de Maxwell para descrição dos campos eletrodinâmicos em meios lineares, homogêneos, isotrópicos, isolantes e eletricamente neutros, conduz à chamada Equações das Ondas Eletromagnéticas, e expressa matematicamente por: ∂² E = 1 ∂²E ∂x² v² ∂t² v² = µε onde v é a velocidade de fase de frente de onda plana transversal que contém o campo elétrico da expressão. Relativamente a este fenômeno ondulatório (A) Mostre que uma solução do tipo onda harmônica propagante E(x,t) = E₀ cos(kx + ɷt) em que E₀ é um vetor constante, satisfaz à equação de onda dada, desde que se tenha v = ɷ/k O campo E(x,t) = E₀ cos(kx - ωt) será uma onda propagante e se, somam- ∂²E = ∂²E , com v = ω, E₀ = cte ∂x² v² ∂t² x ∂²E - E₀ sen(kx - ωt)k = ∂²E(kᴇ²cos(kx - ωt) (I) ∂x ∂²E = - E₀ sen(kx - ωt)(-ω) (I) ∂x² I ∂²E = ω² E₀ cos(kx - ωt) (I) ∂t² I I Igualando 1 e 2: I - k²E₀cos(kx - ωt) ≠ [ - ωE₀cos(kx - ωt)] 1 1 v² = - k²E₀cos(kx - ωt) = μεE₀ cos(kx - ωt) \/ = με Eω² = > k² = W² > k² = W² v² = > v = W k V Portanto, o campo E(x,t) = E₀ cos(kx - ωt) é uma onda propagante portanto UNIVASF UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SAO FRANCISCO Prof. Dr. ISNALDO J. SOUZA COÊLHO Colegiado Acadêmico de Engenharia Elétrica Materiais e Dispositivos Semicondutores – Turma E5 1º. EXERCÍCIO ESCOLAR 18.12.2015 Utilize as constantes: c=3,0𝑥108 m/s; h=6,63x10-34 Js; m₀ = 9,11x10-31 kg; mp=1,840ml₀; E as relações: 1 eV = 1,6𝑥10-19 J; ∇ ∙ (f𝐴) = ∇𝑓 ∙ 𝐴 + 𝑓∇ ∙ 𝐴; ∇×(f𝐴) = ∇𝑓 × 𝐴 + 𝑓∇×𝐴 1ª. Questão (4,0 pontos) – Ondas Eletromagnéticas A manipulação das Equações de Maxwell, para descrição dos campos eletrodinâmicos em meios lineares, homogêneos, isotrópicos, isolantes e eletricamente neutros, conduz à chamada Equação das Ondas Eletromagnéticas, expressa matematicamente por: ∂²𝐸 ∂x² = 1 ∂²𝐸 v² ∂t² onde v é avelocidade de fase da frente de onda plana transversal que contém o campo elétrico da expressão. Relativamente a este fenômeno ondulatório: a) (0,5) mostre que uma solução do tipo onda harmônica propagante 𝐸(x,t) = 𝐸₀cos(kx + ωt) em que E₀ é um vetor constante, satisfaz a equação de onda dada, desde que se tenha v = ω/k. b) (1,5) qual é a direção de propagação do campo expresso no item (a) ? Utilizando a Lei de Gauss (1ª Equação de Maxwell) na forma diferencial, verifique que aquele campo é perpendicular a esta. c) (0,5) Com base nos resultados do item (b), expresse o vetor constante E₀ em termos de suas componentes ortogonais no sistema de coordenadas cartesianas. d) (1,5) Utilizando agora a Lei de Faraday (2ª Equação de Maxwell) na forma diferencial, expresse o campo magnético associado ao campo elétrico dado no item (a). 𝐻(x,t) = 𝐻₀cos(kx + ωt) H₀ com o novo vetor constante expresso em termos de ε, k, μ (permeabilidade magnética do meio), e das componentes do vetor constante anterior E₀. e) *(0,5 extra) Mostre que no vácuo a relação de dispersão dessas ondas ω(k) é linear. 2ª. Questão (3,0 pontos) – Ondas Elásticas Sabendo que as chamadas ondas elásticas, propagantes em cadeias monatomicas lineares ideais, constituem-se de um outro fenômeno ondulatório clássico, com uma relação de dispersão não-linear expressa por ω(κ) = 2K 1- m (1 - cosκα) sendo m a massa de cada íon, κ = 2𝜋/λ a constante de propagação, e K uma constante relacionada ao potencial de ligação entre átomos vizinhos na rede. O potencial (em unidades de eV) é expresso em função da distância x (em Å) entre cada dois átomos, por V(x) = x² - 20x + 90 com valor mínimo em torno da distância de um parâmetro de rede x = a. Relativamente a esta rede em particular, responda: a) *(0,5 extra) Qual é o valor do seu parâmetro de rede? Quanta energia (em eV) é necessária para quebrar uma ligação nesta rede? b) (1,0) Quanto vale a constante K em N/m? c) (1,0) Qual seria a frequência angular ω de uma onda que se propagasse com λ = 0,1 μm? d) *(0,5 extra) Com que velocidade de fase a onda do item (c) se propagaria nessa rede? Explique. (CONTINUA NO VERSO) (B) Qual é a direção de propagação do campo expresso no item (A)? Utilizando a Lei de Gauss (1ª Equação de Maxwell) na forma diferencial, verifique que aquele campo é perpendicular a esta direção de propagação. Lei de Gauss: ∇·𝐃⃗ = ρ = 0 (vácuo) ∇·𝐸⃗ = ε₀ ∇·𝐸⃗ = 0 ⇒ ∇·𝐸⃗ = 0 Assim, ∇[cos(kx-ωt)𝐸⃗ (x,t)] = ∂[cos(kx-ωt)𝐸⃗ (x,t)] ∂x =-kSen(kx-ωt)ᶬ(𝑥̂·𝐸⃗o)=0⇒𝑥̂·𝐸⃗o=0⇒𝑥̂⊥𝐸⃗o-. Lembrando que: 𝐸⃗o= 𝐸₀(x,t)=(𝐸x₀𝑥̂+𝐸y₀𝑦̂+𝐸z₀𝑧̂)cos(kx-ωt)= = (𝐸x₀cos(kx-ωt)𝑥̂+(𝐸y₀cos(kx-ωt))𝑦̂+(𝐸z₀cos(kx-ωt))𝑧̂) = ᶬ𝐸x𝑥̂+𝐸y𝑦̂+𝐸z𝑧̂ =𝐸₀cos(kx-ωt)𝑥̂⇒𝐸₀=0 e (𝐸x=0) Logo, 𝐸⃗ é perpendicular a direção de propagação 𝑥̂→ 𝐸⃗ = 𝐸₀cos(kx-ωt) (C) Com base nos resultados de item (B), expresse o vetor constante 𝐸⃗o em termos de suas componentes cruz ortogonais no sistema de coordenadas cartesianas. 𝐸⃗ (x,t) = 𝐸y𝑦̂+𝐸z(𝐱+t)𝑧̂=𝐸y₀cos(kx-ωt)𝑦̂+𝐸z₀cos(kx-ωt)𝑧̂⇒) = (𝐸y₀𝑦̂+𝐸z₀𝑧̂)cos(kx-ωt) = [0𝑦̂+𝐸y₀𝑦̂+𝐸z₀𝑧̂ ]cos(kx-ωt) 𝐸𝑥,𝐿=𝐸₀cos(kx-ωt) (C) Qual seria a frequência angular w de uma onda que se propagasse com λ = 0,4μm? A relação de dispersão dessa onda é não linear w = \sqrt{ \frac{2K}{m} (1 - \cos \frac{2\pi d}{\lambda}) } = w(U), note que para essa onda \lambda >>> 2d, tal que \frac{2\pi d}{\lambda} \rightarrow 0 & o \cos \frac{2\pi d}{\lambda} \cong 1 - 2(\frac{\pi d}{\lambda})^2 \rightarrow w = \sqrt{ \frac{2K}{m} (\frac{\pi d}{\lambda})^2 } = \sqrt{ \frac{4K\pi^2 d^2}{m \lambda^2} } w = \sqrt{ \frac{K}{m} } \cdot \frac{2\pi d}{\lambda} = , Sabendo que \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \cos \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta 2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta\ daqui 1 - \cos \frac{\pi d}{\lambda} \cong 2 \sin^2( \approx \frac{\pi d}{\lambda} \cong 2 \pi 3) PRINCÍPIOS DA MECÂNICA QUÂNTICA Uma bola de futebol tem uma massa de ≈ 0,8Kg e se move a 25 m/s, quando chuta deve vigorosamente um automóvel modelo esportivo com 2 toneladas viaja a 150 km/h numa estrada sem buracos. Um elétron num tubo de lâmpada fluorescente pode alcançar uma velocidade de ordem de 10^5 cm/s antes de colidir com uma molécula de gás confinado. Considerando apenas a energia cinética dessas "partículas", qual seria como portando a onda de De Broglie e frequência de Planck de cada uma delas? Algum deles tem comportamento ondulatório observável através de instrumentos? Quais? Explicar. * Bola: m = 0,8Kg v = 25 m/s * Automóvel: m = 1200Kg v = 150 km/h = 41,67 m/s * Elétron: m = 9,11 x 10^-31, v = 1,200 x 10^5 cm/s = 1 x 10^3 m/s Partícula mencionar classificates: K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{mv^2}{2} = \frac{p^2}{2m} De Broglie: p = \frac{h}{\lambda} \Rightarrow Κυ = \frac{h \text{η Κ}}{\lambda} Assim, temos a relação: p = \frac{h}{\lambda} = \sqrt{2mE} \Rightarrow \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}} Planck: \epsilon = hν = \text{ħ} \omega \Rightarrow ν = \frac{\epsilon}{h} Calculando: Bola: Κ = \frac{1}{2} 0,8 . 25^2 Κ_B = 250J \Rightarrow \lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 . 0,8 . 250} \Rightarrow \lambda = 3,315 \times 10^{-35}m V = \frac{\epsilon}{h} = . \Rightarrow ν = \frac{250}{6.63 \times 10^{-34}} \Rightarrow ν = 3,77 \times 10^35 Hz Automóvel: K = \frac{1}{2} . 1200 . 41.67^2 \Rightarrow K_B = 1,041 \times 10^6 J \Rightarrow \lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 . 1200 . 1,041 . 10^6}} = 1,33 \times 10^{-38} Elétron: \epsilon = \frac{1}{2} . 9.11 . 10^{-31} . (1 x 10^3)^2 \Rightarrow \epsilon = 4,56 x 10^{-25} J λ = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 . 9.11 . 10^{-31} . 4.56 x 10^{-25}}} \Rightarrow λ = 7,27 x 10^{-10} m ν = \frac{\epsilon}{h} \Rightarrow \far \Rightarrow ν = \frac{4,56 x10^{-25}}{6.63 \times 10^{-34}} \Rightarrow ν = 627,78 \times 10^6 Hz Fótons: mas sem partículas materiais ε = 4,13 ev = 6,88 x 10^{-19} J \Rightarrow ν = \frac{\epsilon}{h} \Rightarrow \frac{6,88 x 10^{-19}}{6.63 x 10^{-34}} \Rightarrow ν = 1,038 x 10^{15} Hz \lambda_F = \frac{c}{ν} \Rightarrow \frac{3 x 10^8}{1,038 x 10^{15}} \Rightarrow λ_F = 2,89 x 10^{-7} m Comportamento ondulatório das "partículas": No caso das partículas "macroscópicas" (bola e carro) a ordem de grandeza "v" é sequer é mensurável, razão pela qual o comportamento ondulatório não é significativo. No caso do elétron e do fóton, é de ordem de grandezas das distâncias entre átomos, razão pela qual seu comportamento ondulatório é explorado tecnologicamente no desenvolvimento de equipamentos que exploram os princípios de interação das ondas com a matéria.