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Oe Universidade de Brasilia sr | Departamento de Matematica Calculo 1 Lista de Exercicios — Semana 11 Temas abordados: Integral Definida, Teorema Fundamental do Calculo e Areas Secoes do livro: 5.1, 5.2, 5.3 e 5.4 1) Calcule as integrais definidas abaixo. 0 32 T (a) / (2x + 5)dx (b) / a Pda (c) | sen(x)da -2 1 0 a/2 —1 1 22 (d) | (8t? + cos(t))dt (ec) | (r + 1)°dr (f) / vtvsa, —1/2 1 V2 Ss e 1 1 1 4 14+-—Jd h 3+ 4e”)d i —d w) [ (142) a0 a) [@rsejar i) f ya 2 9 7 In2 (j) | ———dr (k) | 2 cos(@)d0 (1) | e "dx 0 V 1- x? 0 0 2) Se f é uma fungao continua e nao negativa em [a, bj, entao a integral f f (x)dx é exata- mente a area da regiao abaixo do grafico de f e acima do eixo Ox. Utilizando o grafico da fungao, calcule cada uma das integrais abaixo. 2 2 0 @) | |x| da ) | V4— 2? dx © | (1+ V9 — 2?) dx —4 —2 —3 3) Se pe q sao fungoes continuas e p(x) > g(x) em |a, b|, entao a area da regido compreendida acima do grafico de q e abaixo do grafico de p é dada por {’[p(2) — q(x)|dxz. Nos itens abaixo, vamos calcular esta area para o caso em que f(x) = 2% e g(x) = x? — 4a. (a) Determine as solugoes da equacao f(x) = g(x), cha- mando de a o menor valor e b o maior. 20 (b) Pelo Teorema do Valor Intermedidrio temos que, em is todo o intervalo [a,b], uma das fungdes é sempre maior ou igual a outra. Determine qual delas é a " maior, calculando cada uma delas em ponto c € (a, b) e comparando os dois valores. (c) Determine agora a Area integrando, no intervalo iY NU S67 [a, b], a fungao que esta por cima menos a que esté por baixo. 4) Proceda como no exercicio anterior para calcular a drea a area da regiao limitada pelas curvas dadas. (a) f(x) =V2, g(a) = 2° (b) f(x) =6—-a?, g(a) =3-2x (c) f(x) = |a — 2), g(x) = 2— (x -2)? Lista de Exercicios — Semana 11 - Pagina 1 de 3 5) Repita o argumento acima para as fungoes abaixo. Neste caso, vocé encontraraé 3 raizes para a equacéo f(x) = g(x), digamos a < b < c. A area agora sera calculada como a soma de duas integrais, uma do tipo i e outra do tipo i Em cada uma delas, vocé deve integrar a fungao que esta por cima, menos a que esta por baixo no intervalo de integracao. (a) f(z@)=2° -2+1, g(t) =1 (b) f(z) =4a, g(x) = 2° + 32? 6) Se f é continua em |a, b], entao o Teorema Fundamental da Calculo afirma que a derivada da fungdo x +> f* f(t)dt é igual a f(x) no intervalo (a,b). Vamos usar este resultado para calcular a derivada da fungao 3 g(x) = / sen®(t)dt. (a) Verifique que, se F(x) = f” sen®(t)dt e c(x) = 23, entao g(x) = (F oc)(2). (b) Use a regra da cadeia e o Teorema Fundamental do Calculo para determinar g’(x). 7) Verifique que as fungoes abaixo nao dependem de x. Note que, procedendo como acima, é possivel fazer isso sem saber a primitiva das funcgoes que estao sendo integradas. "4 7] a r)= ——dt + —— dt, definida para x > 0. (a) F(@) lw [ (+) P senz 1 b = | ——— dt, para x € (0,7/2). (>) fee) = faa, para 2 € (0, /2) 8) Considere a fungao f : [0,2] + R definida por _ f 0, sex e€ [0,1)U(1, 2], re)={ 1, sex=1. Supondo que ela possui uma primitiva F’, resolva os itens a seguir. (a) Mostre que existem c;, C2 € R tais que F(x) = c; para todo x € (0,1), e F(x) = c para todo x € (1,2). (b) Usando a continuidade de F’, verifique que cy = c2 e portanto F’(1) = 0. (c) Usando o item anterior e lembrando que F’(1) = f(1) = 1, conclua que a fungao F nao pode existir, isto é, f nao possui primitiva em [0, 2]. (d) Explique a razao pela qual o item acima nao contradiz o Teorema Fundamental do Calculo. Lista de Exercicios — Semana 11 - Pagina 2 de 3 RESPOSTAS (a) 6 (b) 5/2 (c) 2 (d) 2+ 2n?/3 1) (e) -8/3 (f) 2/4 V2-1 (g) € (h) de-1 (i) 7 (j) 7/3 (k) 0 (I) 1/2 2) (a) 10 (b) 27 (c) 3+ 9/4 Os valores podem ser calculados a partir dos graficos, que estao esbogados abaixo. 3) (a) As fungoes sao iguaisem «=ONer=6. (b) Como f(5) = 10 > 5 = g(5), a funcao f é maior ou igual a g em todo o intervalo [0,6]. Nao ha nada de especial no ponto 5 escolhido. Vocé poderia escolher qualquer um no intervalo aberto (0,6). (c) A area é dada pela integral f Lf (x) — g(2)|dr = J, (6x — x7)dx = 36. 4) (a) 1/3 (b) 32/3 (c) 7/3 Neste caso é possivel fazer o calculo sem conhecer os graficos. Contudo, para maior entendimento, eles estao esbocadas abaixo. 5) (a) 1/2 (b) 32 + (3/4) Neste caso é possivel fazer o calculo sem conhecer os graficos. Contudo, para maior entendimento, eles estao esbocadas abaixo. A 6) Pela regra da cadeia f’(x) = F’(c(x))c(x). Basta agora lembra que, pelo Teorema Fun- damental do Calculo F’(x) = sen?(x), de modo que f’(x) = 3x? sen?(x?) . sen(z) _ 0 sen(x) 7) Para o item (b) escreva |“ cos(x) = f- cos() + Jo ; Lista de Exercicios — Semana 11 - Pagina 3 de 3