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2ª Questão (3,5 pontos) Dois reservatórios de água abertos para a atmosfera são conectados por uma tubulação de mesmo material e diâmetro constante D = 50 mm e uma máquina hidráulica M, garantindo-se um escoamento permanente, conforme esquematizado na figura abaixo. Os seguintes dados são fornecidos para essa instalação: Q = 6,1 L/s; p3 = 120 x 10³ Pa; ρ = 1000 kg/m³; γHg = 133000 N/m³; g = 10 m/s²; h = 20 cm; μ = 1 x 10⁻³ Pa·s. Pede-se: 2.1. Mostrar por meio de cálculo o sentido do escoamento. Justificar o valor do coeficiente de energia cinética adotado. (1,0 ponto) 2.2. Calcular a perda de carga entre as seções 3 e 4, ou 4 e 3. (0,5 ponto) 2.3. Calcular a carga da máquina e o tipo de máquina. (0,5 ponto) 2.4. Calcular a potência hidráulica trocada pela máquina com o fluido, em watts. (0,5 ponto) 2.5. Calcular a cota z₀ do reservatório indicada na figura. (1,0 ponto) Observação: despreze as perdas nas singularidades. 3ª Questão (3,5 pontos) Óleo SAE 10 a 20 °C (ρ = 870 kg/m³; μ₀ = 0,104 Pa·s) escoa no interior de tubo vertical liso de 30 mm de diâmetro interno mostrado na figura. O desnível do manômetro de mercúrio (ρHg = 13600 kg/m³) é de 420 mm, conforme mostrado na figura. A aceleração da gravidade no local é 9,8 m/s². Determine: 3.1. O sentido do escoamento. (1,0 ponto) 3.2. A vazão volumétrica de óleo. (1,0 ponto) 3.3. Partindo das equações integrais de conservação de massa e quantidade de movimento, obtenha o perfil de velocidades do escoamento. Desenvolva a expressão literal e substitua os valores numéricos no final. (1,5 ponto) Formulário: τ = μ du dy p₁ + ρV₁² 2 + ρgz₁ = constante ∫A (p + ρV² 2 + ρgz)·n⃗ dA = ΣFext ht = L V² D 2g hf = τL ρVD hs = (1 - β²) V² 2g hf = (l/D) f V² 2g √f = 2.0log (ε D + 2.51 ) Re f = 64 Re D Óleo SAE 10 PME 3230 - 2ª Prova - 17/10/2018 Resolução 1ª Questão CONDIÇÃO: A → ρ₂ = 0,8 kg/m³ ṁ₃ = ? Q₃ = ? V₃ = ? e V₅ = ? Eq. Conservação da Massa: ṁ₁ = ṁ₃+ṁ₄ = ṁ₆ sendo ṁ₂ = ṁ₃+6 = 2 ṁ₃ ṁ₁ = 4·ṁ₃ → ṁ₃ = ṁ₁ 4 → ṁ₃ = 6 → 1,5 4 → ṁ₆ = 1,5 Q₃ = ṁ₃ ρ₃ = 1,5 = 1,875 m³ 0,8 V₃ = ṁ₃ = 1,875 = 5 m A₃ 0,375 s ṁ₅ = ṁ₆ V₅ = ṁ₅ = 1,5 = 1,25 m ρ₅·A₅ 0,8·1,5 s 1.2) Equação de Bernoulli ao longo de LC, alinhada com o tubo de Pitot, nas sec 6-6 entre dois pontos A e B: EM A → pA = pressão estática vₐ = velocidade na L.C. alinhada com Pitot EM B → pB = pressão total v₆ = 0 (velocidade nula) pA + ρVA² = pB + 2 ρgZᵦ ρVA² = pB - pA = Total Pestratic = pDinâmica 2 pdin = ρVA² 2 ; mas v₆ = v₅ = ṁ₆ = 2 = → m ρ₆A₆ OB:0,25 VA = 2·1,5 = 15 m 0,8·0,25 pdin = 90 Pa 2 ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO PME3230 – MECÂNICA DOS FLUIDOS I 2ª PROVA – 17/10/2018 – Duração de 120 minutos RECOMENDAÇÕES: • Preecha todas as informações da capa do Caderno de Respostas • Cada questão deve ser resolvida na página identificada do Caderno de Respostas • Todos aparelhos de comunicação devem permanecer desligados durante toda a prova 1ª Questão (3,0 pontos) Em um sistema de movimentação de ar apresentado na figura há entrada de ar pela seção 1-1, seguida de um trocador de calor que pode aquecer o ar (condição A) ou não aquecer (condição B). Em seguida o ar é enviado à caixa de distribuição de ar podendo escoar para três saídas nas seções 3-3, 4-4 e 6-6. Na seção 5-5 há um pistão para movimentar-se ou estar travado em repouso. Na seção 6-6 há um tubo de Pitot posicionado de modo a medir uma velocidade que tem valor muito próximo ao valor da velocidade média nesta seção transversal, seguido por um ventilador auxiliar. São dados: • Na seção 1-1: vazão em massa ṁ₁ = 6 kg/s, massa específica ρ₁ = 1,2 kg/m³ e área A₁ = 0,5 m². • A condição A o trocador de calor aquece o ar e sua massa específica na seção 2-2 é ρ₂ = 0,8 kg/m³. • As áreas das seções de saída são: A₄ = A₆ = 0,375 m², A₅ = 1,5 m² e A₆ = 0,25 m². Pede-se: 1.1. Para condição A com o trocador de calor aquecendo o ar, o pistão movendo-se com velocidade é a vazão em massa ṁ₃, a vazão volumétrica Q₃, a velocidade média na seção V₅ e a velocidade V₅ do pistão na seção 5-5. (1,5 ponto) 1.2. Desenvolver uma expressão para calcular a velocidade medida com o tubo de Pitot a partir da equação de Bernoulli aplicada na seção 6-6, na qual são medidas as pressões estática e total. Considerando a mesma condição do item 1.1, calcular o valor da pressão dinâmica medida por este instrumento (pdin). (1,0 ponto) 1.3. Para a condição B em que o ar não é aquecido e o pistão está travado, e considerando que as vazões em massa de saída são ṁ₆ = 4 ṁ₃, neste caso, determinar qual a vazão volumétrica Q₆ e a velocidade média V₆. (0,5 ponto) 1.3) CONDICAO B -> p2 = p1 = 1,2 \frac{kg}{m^3} (sem aquecimento) \dot{m}_1 = 4\dot{m}_2 \ | \ sem movimento no pistao: EQ. CONSERV. DA MASSA: \dot{m}_1 = \dot{m}_3 + \dot{m}_6 | \ \dot{m}_3 + 4\dot{m}_3 = 5\dot{m}_6 \dot{m}_3 = 1,2\ \frac{kg}{s} \ \dot{m}_6 = 4,8\ \frac{kg}{s} Q_6 = \dot{m}_6 = 4\frac{m^3}{s} \frac{po}{p} V_6 = \frac{Q_6}{A_6} = \frac{4}{0,25} = \frac{16 m}{s} 2: Questao (2,5 pontos) a) Determine o sentido do escoamento. Justifique o coeficiente de energia cinetica adotado H_3 = \frac{V_3^2}{2g} + \frac{p_3}{\gamma} + z_3 = \frac{(3.11)^2}{20} + \frac{120\times10^3}{10^4} = 0,48 \ m + 12 = 12,48 \ m \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2} = \frac{4\times6,1\times 10^{-3}}{\pi \times (0,05)^2} = 3.11 \frac{m}{s} p_3 = 120 \times 10^3 \ Pa (dado) H_4 = \frac{V_4^2}{2g} + \frac{p_4}{\gamma} + z_4 = 9 \ m H_3 \gt H_4 \Rightarrow sentido do escoamento e 3 para 4 (assume \alpha = 1) Re = \frac{VD}{v} = \frac{3.11 \times 0.05}{10^{-6}} = 1,55 \times 10^5 b) Calcule a perda de carga rut. secoes 3 e 4 H_3 - H_4 = \Delta H_{3-4} = 12,48 - 9,00 = 3.48 \ m \ (resp.) c) Calcule a carga da maquina e seu tipo \forall C_{4-3} \Rightarrow H_2 - H_3 = \frac{W_{\dot{m}}}{\dot{Q}} = H_m H_2 = \frac{V_2^2}{2g} + \frac{p_2}{\gamma} + z_2 = \frac{(3.11)^2}{20} + \frac{18600}{10000} 0,48 + 1,86 = 2,34 \ m Manometria: \ p_{mg}h - \gamma H2\times0.8 = p_2 | p_2 = 133000\times 0.20 - 10000\times 0.8 26100 - 8000 p_2 = 18600 Pa V_2 = V_3 = 3.11 m/s H_2 = 2,34 \ m \}\Rightarrow H_m = 12.48 - 2.34 = 10,14 \ m \ (0,5 pt) H_m \gt 0 \Rightarrow A maquina e uma Bomba \ (0,5pt) d) Determine a potencia hidraulica indicada pela maquina com o fluido, em Watts \dot{W}_B = \dot{Q}H_B = 10000 \times 6,1\times10^{-3} \times 10,14 \dot{W}_B = 618,54 \ Watts \ (0,5pt) e) Determine a cota z1 do reservatorio indicado na figura \forall C_{1-2} \Rightarrow H_1 - H_2 = \left(\frac{W_{\dot{m}}}{\dot{Q}}\right)_{1-2} H_2 = 2.34 \ m Como as tubulacoes sao iguais e desprezando-se os efeitos de singularidades (apenas diferem pelo comprimento): L_{1-2} = \frac{1}{2} L_{34} \Rightarrow \left(\frac{W_{\dot{m}}}{\dot{Q}}\right)_{1-2} = \frac{1}{2} \left(\frac{W_{\dot{m}}}{\dot{Q}}\right)_{3-4} = \frac{L_{34}}{2} H_{34} = 1,74 \ m H_1 - 2.34 = 1.74 \Rightarrow H_1 = 4.08 \ m \forall H_1 = \frac{V_1^2}{2g} + \frac{p_1}{\gamma} + z_1 = 4.08 \Rightarrow z_1 = 4.08 (0,5 pt) 3ª Questão (3,5 pontos) (a) Para determinar o sentido do escoamento, assumimos que ele ocorre em um sentido e aplicamos a equação da energia para encontrar a perda de carga. Se o valor da perda de carga for positivo, o sentido está correto, e se for negativo, o escoamento na verdade ocorre no sentido oposto. Assumindo que o escoamento ocorre de baixo para cima, chamando a seção da tomada de pressão inferior de 1 e a da tomada de pressão superior de 2, a equação da energia fornece: (p1/γo + α1V1²/2g + z1) - (p2/γo + α2V2²/2g + z2) = hL ⇒ p1 - p2/γo + (z1 - z2) = hL Aplicando a lei de Stevin no manômetro para achar (p1 - p2): p1 - p2 = -d1γo + 0,42γHg + d2γo = (3 - 0,42)γo + 0,42γHg p1 - p2 = 9,8 x (2,58 x 870 + 0,42 x 13600) = 77975 Pa 0,4 pt Substituindo na equação da energia: hL = 77975/(870 x 9,8) = 6,146 m 0,3 pt Como hL > 0, o escoamento de fato ocorre de baixo para cima. 0,3 pt (b) A equação de Darcy-Weisbach fornece hL = f L/D V²/2g. Assumindo escoamento laminar (que verificaremos posteriormente), temos f = 64/Re. Assim: hL = 64μ/ρoVD² V²/2g ⇒ V̅ = (hLρoD²g)/(32μL) = 6,146 x 870 x 0,03² x 9,8 / 32 x 0,104 x 3 = 8,398 m/s 0,4 pt Re = ρoVD/μ = 870 x 8,398 x 0,03/0,104 = 1185 < 2100 ⇒ laminar ✔ 0,3 pt Q = V̅A = V̅πD²/4 = 8,398 x π x 0,03²/4 = 0,00334 m³/s 0,3 pt (c) Considerando escoamento plenamente desenvolvido, em regime permanente, num tubo vertical de raio R = 15 mm, a equação da quantidade de movimento na direção y (vertical) fornece: FSy + FBy = ∂/∂t ∫UC ρudV + ∫SC ρuu̅·n̅dA ... FSy = -FBy 0,3 pt Admitiremos escoamento axisimétrico e analisaremos um VC que é um anel circular diferencial. Forças de superfície: dFc = p2πrdr (face de cima) dFb = - (p + ∂p/∂y dy) 2πrdr (face de baixo) dFi = -τry2πrdrdy (superfície interna) dFE = (τry + dτry/dr dr) 2π(r + dr)dx (superfície externa) Força de corpo: dFBy = -ρog2πrdrdy Somatória: dFSy = dFc + dFb + dFi + dFE = -FBy ∂p/∂y2πrdrdy + τry2πrdrdy + dτry/dr 2πrdrdy = ρog2πrdrdy (desprezou-se o termo dτry/dr 2πrdrdy) Dividindo por 2πrdrdy: ∂p/∂y + ρog = ∂τry/∂r + τry/r 0,3 pt Não existe escoamento na direção radial, portanto p não varia com r e podemos integrar em relação a r: ∫ (d(τry)/dr) dr = ∫ (τ (∂p/∂y + ρog)) dr ⇒ τry = r²/2 (∂p/∂y + ρog) + C1 Fluído newtoniano: τry = μ dv/dr ⇒ μ (dv/dr - r/2(∂p/∂y + ρog) + C1/r Integrando mais uma vez: v = r²/4μ (∂p/∂y + ρog) + C1/μ ln r + C2 0,3 pt Condições de contorno Velocidade finita no centro do tubo (r = 0): C1 = 0 v = 0 para r = R (não escorregamento): C₂ = R²/4μ (∂p/∂y + ρog) Assim: v = r²/4μ (∂p/∂y + ρog) - R²/4μ (∂p/∂y + ρog) = 1/4μ (∂p/∂y + ρog) (r² - R²) pt Substituindo os valores numéricos v = 1/4 x 0,104 (77975/3 + 870 x 9,8) (x² - 0,015&) = 41985 x (2,225 x 10⁻³ - r²) m/s 0,3 pt